Папперица Уравнение

линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка класса Фукса, имеющее ровно три особые точки. здесь а, b, с - попарно различные комплексные числа, a, a' (b, b' и g, g') - характеристич. Показатели в особой точке z=а (соответственно z=bи z=с). П. У. Однозначно определяется заданием особых точек и характеристич. Показателей. Для решений П. У. (1) используется обозначение Римана. Б. Риман исследовал [1] задачу. Найти все многозначные аналитические в расширенной комплексной плоскости функции w(z).со следующими свойствами. 1) функция w(z).имеет ровно три особые точки а, b, с. 2) любые три ее ветви связаны линейным соотношением с постоянными коэффициентами. 3) функция w(z).имеет простейшие особенности в точках a, b, с, а именно.

В окрестности точки z=а существуют две ее ветви такие, что где jj(z), j=1, 2,- голоморфные в точке z=a функции. И аналогично для точек b, с. Б. Риман при нек-рых дополнительных предположениях относительно чисел a, a', . ., g' показал, что все такие функции выражаются через гипергеометрич. Функции и что w(z).удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с рациональными коэффициентами, но явно его не выписал (см. [1]). Это уравнение (уравнение (1)) было приведено Э. Папперицем [2]. Оно паз. Также Р-уравнением Римана, уравнением Римана в форме Папперица, уравнением Римана, а его решения наз. Р-функциями. Основные свойства решений П. У. 1) П. У. Инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

Если z1=(Az+B)/(Cz+D).отображает точки а, Ь, с в точки a1, bl, c1, то 2) Преобразование переводит П. У. В П. У. С теми же особыми точками, но с другими характеристич. Показателями. 3) Гипергеометрическое уравнение есть частный случай П. У. И ему соответствует обозначение Римана 4) Всякое решение П. У. Выражается через гипергеометрич. Функции. (2) в предположении, что a-a' не есть целое отрицательное число. Если все разности a-a',b-b', g-g'- нецелые числа, то, переставляя в (2) местами a и a' или g и g', получают четыре решения П. У. Кроме того, П. У. Не меняется, если переставлять местами тройки (a, a', а),(b, b', b), (g, g', с). Все эти перестановки приводят к 24 частным решениям П. У. (1), к-рые впервые были получены Э.

Куммером [5]. Лит.:[1] Риман Б., Соч., пер. С нем., М.- Л., 1948, о. 159-75. [2] РаррeritzE.,"Math. Ann.", 1885, Bd 25, S. 212- 21. [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. С англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1962-63. [4] Голубев Б. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950. [5] Кummеr Е., "J. Reine und angew. Math.", 1836, Bd 15, S. 39-83, 127-72. M. В. Федорюк.