Петерсона Соответствие

соответствие двух поверхностей, при к-ром их касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. В общем виде рассмотрено К. М. Петерсоном [1] в связи с задачей изгибания на главном основании. Напр., в П. С. Находятся поверхность и ее сферич. Образ, поверхность и ее индикатриса вращения, присоединенные минимальные поверхности. Если поверхности Sи S* имеют общую параметризацию, то их третьи квадратичные формы равны. Главная сеть асимптотич. Сетей Sи S* сопряжена на каждой из них. Эта сеть определяется однозначно, если асимптотич. Сети не имеют общих семейств линий. Вырождается, если эти сети связанные. Становится неопределенной, если эти сети соответствуют друг другу. Соответствующие касательные к линиям главной сети на Sи S* параллельны.

Если главную сеть принять за координатную ( и, v), то радиус-векторы хи х* поверхностей Sи S* связаны уравнениями причем функции r, s удовлетворяют системе уравнений то есть r, sзависят только от метрики F( Е, F, G - коэффициенты ее первой квадратичной формы). Естественно поэтому применение П. С. К паре изометричных поверхностей . Оно дает другую пару изометричных поверхностей с теми же нормалями соответственно. Кроме того, оказывается, что диаграммы поворота этих поверхностей одни и те же и что основание изометрии новых поверхностей имеет то же сферич. Изображение, как и первоначальных. Напр., сфере и изометричной ей поверхности положительной постоянной кривизны отвечают при П. С. Изометричные поверхности с соответствующими линиями кривизны - т.

Н. Поверхности Бонне. В частности, если основание изометрии Sи S* было главным основанием, то оно и. Остается таковым. Это - т. Н. Преобразование Петерсона поверхности, изгибаемой на главном основании в поверхность того же типа. Имеется обобщение этого преобразования на случай семейства сетей (см. [2]). Специальный случай П. С., при к-ром главная сеть является сетью кривизны одновременно на Sи на S*, наз. Соответствием Комбескюра. Если П. С. Является конформным, то либо одна из поверхностей минимальная, а другая - сфера (то есть П. С.- сферич. Отображение), либо обе поверхности минимальные, а вектор конформного отображения удовлетворяет уравнению Лапласа, либо поверхности подобны, либо обе поверхности изотермические и находятся в соответствии Комбескюра.

Имеется многомерное обобщение П. С. (см. [4]). Лит.:[1] Петерсон К. М., "Матем. Сб.", 1866, т. 1, с. 391-438. [2] Шуликовский В. И., Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. [3] Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.- Л., 1937. [4] Широков П. А., Широков А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959. М. И. Войцеховский.