Понтрягина Квадрат

- когомологическая операция типа ( ), т. Е. Отображение определенное для любой пары топология, пространств (X, Y).и такое, что для любого непрерывного отображения имеет место равенство (естественность). П. К. Обладает следующими свойствами. 1), где - вложение. 2) и , где - гомоморфизм приведения по mod 2. 3) , где -изоморфизм надстройки, а - Постникова квадрат (иными слонами, когомологич. Надстройкой над является ). Если и - представляющие отображения, то . Свойства 1), 2) однозначно характеризуют П. К. И потому могут быть приняты за определяющие его аксиомы. Конструктивно П. К. Определяется формулой где - коцикл mod 2* (о Ui -произведениях см. Ст. Стинрода квадрат). Существует (см.

[5], [6]) обобщение П. К. На случай произвольного нечетного простого р. Это обобщение является когомологич. Операцией типа (, 2 рn) и наз. P-й степенью Понтрягина . Для операции имеют место формулы (к-рые эту операцию однозначно характеризуют). где - вложение. где - гомоморфизм приведения по модулю p, обобщающие соответствующие формулы для . Аналог формулы 3) для имеет вид , означающий, что когомологич. Надстройка над при p>2 равна нулю. При р>2 имеет место равенство , в к-ром умножение можно считать как внешним ( -умножением), так и внутренним ( -умножением). При р=2 соответствующее равенство имеет место только с точностью до слагаемых порядка 2. Наиболее общим образом П. К. Определяется для когомологий над произвольной конечно порожденной абелевой группой p(см.

[2], [31). Окончательный вид этого обобщения (см. [6J). П. К. Представляет собой кольцевой гомоморфизм где Г - функтор разделенных степеней алгебры. Если p=, то р-я компонента этого гомоморфизша совпадает с p- йстепенью Понтрягина (при р=2 - с П. К. ). Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Докл. АН СССР", 1942, т. 34, с. 39-41. [2] Болтянский В. Г., Гомотопическая теория непрерывных отображений и векторных полей, М., 1955. [3] Постников М. М., "Докл. АН СССР", 1949, т. 64, М 4, с. 461-62. [4] Browder W., Тhornas E., "Quart. J. Math.", 1962, v. 13, p. 55-60. [5] Thomas E., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1956, v. 42, p. 266-69. [6] его же, The centralized Pontrjagin cohomology operations and rings with divided powers, Providence, 1957. С. Н. Малыгин, М. М. Постников.