Проективный Предел

обратный пре-д е л,- конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Наиболее часто используется П. П. Семейства однотипных мате-матич. Структур, индексированных элементами нек-рого предупорядоченного множества. Пусть I - множество, снабженное отношением предпорядка , и каждому элементу сопоставлено множество Xi, а каждой паре , в к-рой , сопоставлено отображение , причем , - тождественные отображения и jijjjk=jik при . Множество X ваз. Проективным пределом семейства множеств Xi и отображений jij, если выполнены следующие условия. А) существует такое семейство отображений , что pijij=pj для любой пары . Б) для любого семейства отображений ai.

YXi, , произвольного множества Y, для к-рого выполнены равенства aijij=aj при , существует такое однозначно определенное отображение , что ai=api для всех . Конструктивно П. П. Можно описать следующим образом. Рассматривается прямое произведение и в нем выделяется подмножество всех функций , для к-рых выполняются равенства jij(f(i)=f(j) при . Это подмножество является П. П. Семейства Xi. Если все Xi снабжены дополнительной однотипной структурой, к-рая переносится на , то эта же структура индуцируется и в П. П. Поэтому можно говорить о П. П. Групп, модулей, топологич. Пространств и т. Д. Естественным обобщением понятия П. П. Является понятие П. П. Функтора. Пусть - одноместный ковариантный функтор из малой категории в произвольную категорию .

Объект , вместе с морфизмами , наз. Проективным пределом (обратным пределом, или просто пределом) функтора F, если выполнены следующие условия. А) pDF(j)= =pD' для любого морфизма . Б) для всякого семейства морфизмов , для к-рого aDF(j) = aD' при , существует такой единственный морфизм что jD = apD' для любого . Обозначение. Lim F=(X,jD). Аналогично определяется проективный предел контравариантного функтора. Примеры П. П. 1) Пусть I - дискретная категория. Тогда для произвольного функтора проективный предел функтора Fсовпадает с прямым произведением семейства объектов 2) Пусть - категория с двумя объектами А, В и двумя неединичными морфизмами . Тогда предел любого функтора является ядром пары морфизмов F(a), F(b).

Если в категории существуют произведения любых семейств объектов и ядра пар морфизмов, то в существует предел любого функтора из произвольной малой категории . М . Ш. Цаленко.