Расходящийся Ряд

- ряд, у к-рого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Напр., ряды расходятся. Р. Р. Стали появляться в работах математиков 17-18 вв. Л. Эйлер (L. Euler) первым пришел к выводу, что нужно ставить вопрос, не чему равна сумма, а как определить сумму Р. Р., и нашел подход к решению этого вопроса, близкий к современному. Р. Р. До кон. 19 в. Не находили применения и были почти забыты. Накопление к кон. 19 в. Различных фактов математич. Анализа вновь пробудило интерес к Р. Р. Стал выдвигаться вопрос о возможности суммирования рядов в нек-ром смысле, отличном от обычного. П р и м е р ы. 1) Если перемножить два ряда сходящихся соответственно к А и В, то полученный в результате перемножения ряд (1) может оказаться расходящимся.

Однако если сумму ряда (1) определить не как предел частичных сумм sn, а как (2) то в этом смысле ряд (1) всегда будет сходиться (т. Е. Предел в (2) будет существовать) и его сумма в этом смысле равна С=АВ. 2) Ряд Фурье функции f(х), непрерывной в точке х 0 (или имеющей разрыв 1-го рода), может расходиться в этой точке. Если же сумму ряда определить по формуле (2), то в этом смысле ряд Фурье такой функции всегда будет сходиться и его сумма в этом смысле равна f(x0) (или соответственно , если х 0 - точка разрыва 1-го рода). 3) Степенной ряд (3) сходится для к сумме и расходится для . Если сумму ряда определить как (4) где sn - частичные суммы ряда (3), то в этом смысле ряд (3) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих условию Re z<l, причем его суммой будет функция Для обобщения понятия суммы ряда в теории Р.

Р. Рассматривают нек-рую операцию или правило, в результате к-рого Р. Р. Ставится в соответствие определенное число, наз. Его суммой (в этом определении). Такое правило наз. суммирования, методом. Так, правило, описанное в примере 1), наз. Методом суммирования средних арифметических (см. Чезаро методы суммирования). Правило, определяемое в примере 2), наз. Бореля методом суммирования. См. Также Суммирование расходящихся рядов. Лит.:[1] В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, P., 1928. [2] Х а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. С англ., М., 1951. [3] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. С англ., М., I960. [4] Р е у е r i m h о f f A., Lectures on summability, В., 1969. [5] К n о р р К., Theory and application on infinite series, N.

Y., 1971. [6] Z e 1 1 е r К., B e e k m a n n V., Theory der Limitierungsverfahren, B.- Hdlb. - N. Y., 1970. И. И. Волков. .