Рунге Теорема

- теорема о возможности полиномиальных приближений голоморфных функций, впервые доказанная К. Рунге (С. Runge, 1885). Пусть D - односвязная область на плоскости комплексного переменного z. Тогда всякая функция f, голоморфная в D, приближается равномерно внутри Dмногочленами от z. Точнее, для любого компакта и любого e >. 0 найдется многочлен р(z) с комплексными коэффициентами такой, что для всех . В иной формулировке. Любая функция f, голоморфная в односвязной области , представляется в виде ряда из многочленов от z, абсолютно и равномерно сходящегося к f внутри D. Эквивалентная формулировка Р. Т. Пусть K - компакт на комплексной плоскости со связным дополнением . Тогда всякая функция, голоморфная в окрестности K, равномерно на Kприближается многочленами от z.

В такой форме Р. Т. Есть частный случай Мергеляна теоремы. Р. Т. Наз. Также следующая теорема о рациональных приближениях. Всякая функция f, голоморфная в области , равномерно внутри Dприближается рациональными функциями с полюсами вне D. Р. Т. Имеет многочисленные применения в теории функций комплексного переменного и в функциональном анализе. Аналог Р. Т. Справедлив на некомпактных римановых поверхностях. Обобщением Р. Т. Для функций многих комплексных переменных является теорема Ока - Вейля (см. Ока теоремы). Лит.:[1] М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 4 изд., М., 1978. [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976. Е. М. Чирка..