Самосопряженное Дифференциальное Уравнение

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение l(у)=0, совпадающее с сопряженным дифференциальным уравнением l* (у)=0. Здесь где С m(I)-пространство траз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на I= (a, b). Черта означает операцию комплексного сопряжения. Левая часть всякого С. Д. У. L(y)=0есть сумма выражений вида где - действительнозначные достаточно гладкие функции, i2= - 1. С. Д. У. С действительными коэффициентами - обязательно четного порядка и имеет вид (см. [1] - [3]). Линейная система дифференциальных уравнений с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t)наз. С а м о с о п р я ж е н н о й, если А(t) =-A*(t), где A*(t)-эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t)(см.

[1], [4]). Это определение не согласовано с определением С. Д. У. Напр., система эквивалентная С. Д. У. - самосопряженная только в том случае, если Краевая задача (1) (2) где - линейные и линейно независимые функционалы, описывающие краевые условия, наз. С а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, то есть (1) - С. Д. У., а для всех и всех k=1,. ., n (см. [1] - [3], [5]). Если (1), (2) - самосопряженная краевая задача, то справедливо равенство (см. Грина формулы) Для любой пары функций , удовлетворяющей краевым условиям (2). Все собственные значения самосопряженной задачи действительны, а собственные функции j1, j2, отвечающие различным собственным значениям l1,l2, ортогональны Линейная краевая задача (3) где A(t) - непрерывная комплекснозначная матрица, Uесть n-вектор-функционал на пространстве непрерывных комплекснозначных функций х.

, наз. С а м о с о п р я ж е н н о й, если она совпадает со своей сопряженной краевой задачей, т. Е. для всех . Самосопряженная краевая задача обладает свойствами, аналогичными свойствам задачи (1), (2) (см. [4]). Понятия С. Д. У. И самосопряженной краевой задачи тесно связаны с понятием самосопряженного оператора [6]. С. Д. У. И самосопряженная краевая задача определяются также для линейного уравнения с частными производными (см. [5], [7]). Лит.:[1] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. С нем., 5 изд., М., 1976. [2] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969. [3] К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.

С англ., М., 1958;[4] В л а д и м и р ов В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981. [5] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. С англ., М., 1970. [6] Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. С англ., ч. 2, М., 1966. [7] М и х а й л о в В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976. Е. Л. Тонков..