Семимартингал

- стохастический процесс, представимый в виде суммы локального мартингала и процесса локально ограниченной вариации. При формальном определении С. Исходят из допущения, что все рассмотрения ведутся на стохастич. Базисе , где . Стохастич. Процесс наз. Семимартингалом, если его траектории непрерывны справа и имеют пределы слева и он представим в виде Xt=Mt+Vt, где - локальный мартингал, а - процесс локально ограниченной вариации, т. Е. Такое представление, вообще говоря, неоднозначно. Однако в классе разложений с предсказуемыми процессами V рассматриваемое представление единственно (с точностью до стохастич. Эквивалентности). К классу С. Относятся (помимо локальных мартингалов и процессов с локально ограниченными вариациями) локальные супермартингалы и субмартингалы, процессы Xс независимыми приращениями, для к-рых функция является функцией локально ограниченной вариации для любого (и значит - все процессы со стационарными независимыми приращениями), процессы Ито, процессы диффузионного типа и др.

Класс С. Инвариантен относительно эквивалентной замены меры. Если Xесть С., a f=f(x) - дважды непрерывно дифференцируемая функция, то = также С. При этом (ф о р м у л а И т о) или, что эквивалентно, где - квадратич. Вариация семимартингала X, то есть - непрерывная часть квадратич. Вариации [X, X], , а рассматриваемые интегралы понимаются как стохастич. Интегралы по С. Если Xесть С., то процесс с имеет ограниченные скачки, , и в силу этого он допускает единственное представление вида где - предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, а -локальный мартингал. Этот мартингал однозначным образом представим как M=Mc+Md, где - непрерывный локальный мартингал (непрерывная мар-тингальная составляющая семимартингала X),а - чисто разрывный локальный мартингал, к-рый может быть записан в виде где dm=m(w, dt, dx) - случайная мера скачков семимартингала X, то есть a dv=v(w, dt, dx) - ее компенсатор.

Поскольку то всякий семимартингал X допускает представление к-рое наз. Каноническим представлением (р а з л о ж е н и е м). Набор (предсказуемых) характеристик , где - квадратич. Характеристика М с,т. Е. Такой предсказуемый возрастающий процесс, что является локальным мартингалом, наз. Т р и п л е т о м локальных (предсказуемых) характеристик X. Лит.:[l] J а с о d J., Calcul stochastique et problemes de mar-tingales, В., 1979 (Lecture notes in mathematics, № 714). A. Н. Ширяев.