Симметризация

- сопоставление каждому объекту Fобъекта F* (того же класса), обладающего нек-рой симметрией. Обычно С. Подвергают замкнутые множества Fв евклидовом пространстве Е n (или в пространстве постоянной кривизны), а также отображения, причем С. Строится так, что F* непрерывно зависит от F. С. Сохраняют одни и монотонно изменяют другие характеристики объекта. С. Используются в геометрии, математич. Физике, теории функций при решении экстремальных задач. Впервые С. Введена Я. Штейнером (J. Steiner) в 1836 для доказательства изопериметрическоео неравенства. С. Относительно плоскости в Е n:для каждого непустого сечения множества Fплоскостью в строят шар с центром и тем же k-мерным объемом, что . Заполняемое шарами множество F* есть результат симметризации.

С. Относительно плоскости сохраняет объем, выпуклость, не увеличивает площадь границы и интегралы поперечных мер (см. [2]). При k=1эта С. Есть симметризация Штейнера, при k=n-1- симметризация Шварца. С. Относительно полуплоскости в Е n:для каждого непустого сечения Fсферой , имеющей центр на границе и лежащей в , строят сферич. Шапочку (Dn - шар с центром ) того же k-мерного объема, что . Заполняемое шапочками множество F* есть результате. При k=n-1 это - сферическая С., если n=2 - круговая С. С. Смешением. Для выпуклого множества строят симметричное ему относительно плоскости множество F';результатом С. Является множество F*=(F+F')/2, где сложение множеств понимается как векторная сумма. С. Окатываним. Для выпуклого тела его опорная функция усредняется на параллельных сечениях единичной сферы.

Результатом С. Считается тело F*, восстановленное по получившейся опорной функции. В E3 симметризация Штейнера не увеличивает емкость. Симметризация Шварца сохраняет непрерывность гауссовой кривизны границы и не уменьшает ее минимум. С. Относительно полуплоскости не увеличивает основную частоту области и площадь границы. Сферическая С. Не увеличивает емкость. С. Смешением сохраняет интеграл средней кривизны границы и не уменьшает площадь последней. С. Окатыванием сохраняет ширину (см. [1], [3]). В Е 2 симметризация Штейнера не увеличивает полярный момент инерции, внешний радиус, емкость, основную частоту. Не уменьшает жесткость кручения, максимальный внутренний конформный радиус (см. [3]). В связи с многократным применением С.

Рассматриваются вопросы сходимости С. Определения аналогов С. Для незамкнутых множеств допускают ветвления. О применении С. В теории функций см. Симметризации метод. Лит.:[1] Б л я ш к е В., Круг и шар, пер. С нем., М., 1967. [2] X а д в и г е р Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. С нем., М., 1966. [3] П о л и а Г., С е г ё Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, пер. С англ., М., 1962. [4] L е i с h t w е i s s К., K o n v e x e Mengen, В., 1980. С. Л. Печерский.