Смешанных Объемов Теория

раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств). Объем Vлинейной комбинации выпуклых тел К i в евклидовом пространстве с коэффициентами является однородным многочленом степени потносительно Коэффициенты Vi1....in предполагаются симметричными относительно перестановок индексов и обозначаются V( К i1,. ., К in), поскольку они зависят только от тел К i1,. ., К in. Эти коэффициенты наз. Смешанными объемами (с. О.) тел К i1, . ., К in Значение С. О. Т. Связано с универсальностью понятия с. О. При подстановке в V( К, К1,..., Kn-1) конкретных тел К 1,..., Kn-1 получаются многие величины, связанные с телом К. В их числе. Объем, площадь поверхности, интеграл по поверхности от элементарной симметрич.

Функции главных кривизн (в случае C2 -гладкого тела), а также соответствующие характеристики проекции тела на i-мерную плоскость, 0<i<n. Частным случаем разложения (*) является разложениe Штейнера для объемов параллельных тел в где V - объем, S - площадь поверхности, В - интегральная средняя кривизна исходного тела, - объем его -окрестности. С. О. V( К 1,. ., К п )инвариантен относительно параллельных переносов любого тела К i, монотонен (по включению тел), непрерывен и неотрицателен;V( К 1, . ., К п)>0тогда и только тогда, когда в каждом К i можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. [1]). Если К' - проекция Кна гиперплоскость, ортогональную единичному отрезку е, то Объем проекции тела Кна р-мерное подпространство наз.

Р-й внешней поперечной мерой. Соотношения между средними значениями Wp (К)этих мер - один из объектов интегральной геометрии. Функционалы Wp(K)с точностью до множителя совпадают с р-ми интегралами кривизны. где U - единичный шар. Для С 2 -гладких строго выпуклых тел с. О. Vp(K),0<р<n, равен интегралу от р-й элементарной симметрич. Функции Dp главных радиусов кривизны, рассматриваемой как функция нормали на сфере Sn-1. В случае общих выпуклых тел Vp(K) есть полное значение определяемой ниже меры на Sn-l, называемой функцией кривизны. (В гладком случае Dp есть плотность Подобно тому как объем тела Кесть интеграла от его опорной функции К (и)по его поверхностной функции, т. Е. По площади поверхности, перенесенной на Sn-1 сферическим отображением, так и с.

О. N тел представим интегралом от опорной функции К 1 (и)одного из них по нек-рой мере на Sn-1, зависящей от остальных тeл и называемой смешанной поверхностной функцией тел К 2,. ., Kn. Функция кривизны определяется равенством Основным содержанием С. О. Т. Являются неравенства между с. О. (см. [2], [3]). В их числе - неравенство Минковского и квадратичное неравенство Минковского Эти неравенства тесно связаны с Брунна - Минковского теоремой, справедливой не только для выпуклых тел. Обобщает эти неравенства Александрова - Фенхеля неравенство, допускающее следующую модификацию (см. [2]). В частности, Полная система неравенств, характеризующая с. О. V(K1,..., К п), получена для двух тел, в связи с этим установлены нек-рые более общие неравенства (см.

14]) Многие геометрич. Неравенства, напр. Изопериметрическое неравенство классическое и ряд его уточнений, являются для выпуклых тел частными случаями неравенств для с. О. Экстремум одного из функционалов Vp(K)при фиксации другого из них достигается для шара. Неравенства С. О. Т. Использованы при доказательстве единственности решения обобщенной проблемы Минковского (см. [2]), устойчивости в проблемах Минковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконечномерный аналог понятий С. О. Т. Нашел применение в теории гауссовских случайных процессов (см. [7]). С. О. Т. Оказалась глубоко связанной с алгебраич. Геометрией. Многочлену f(z1. ., zn) от пкомплексных переменных сопоставляют многогранник Ньютона Для этого каждому одночлену входящему в f с ненулевым коэффициентом, сопоставляется точка многогранник есть выпуклая ооолочка этих точек.

Типичное число решений системы полиномиальных уравнений f1=. .=fn=0 равно деленному на п. С. О. Многогранника Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич. Доказательство неравенства Александрова - Фенхеля (см. [10]). В С. О. Т. Выпуклое тело отождествляют с его опорной функцией. Допускается распространение на разности этих функций, а затем - на произвольные непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела умноженного на объем этого тела, определяются т.