Совершенное Отображение

непрерывное замкнутое отображение топологич. Пространств, при к-ром прообразы всех точек бикомпактны. С. О. Во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой действия имеют класс всех топологич. Пространств. В классе вполне регулярных пространств С. О. Характеризуются существованием у них непрерывного продолжения на нек-рые бикомпактные расширения, при к-ром наросты расширений отображаются в наросты. С. О. Сохраняет метризуемость, паракомпактность, вес, полноту по Чеху в сторону образа. Другие инварианты (напр., характер пространства) оно преобразует правильным образом. Класс С. О. Замкнут относительно операций произведения и композиции. Сужение С.

О. На замкнутое подпространство является С. О. (не так обстоит дело для факторных и открытых отображений). Названные свойства С. О. Привели к тому, что класс этих отображений стал играть стержневую роль в классификации топологич. Пространств. Прообразы метрич. Пространств при С. О. Охарактеризованы как паракомпактные перистые (р)-пространства. Класс паракомпактных р-пространств замкнут уже в обе стороны относительно С. О. Важным свойством С. О. Является возможность сузить каждое из них на нек-рое замкнутое подпространство, не уменьшая образа, так, чтобы получившееся отображение было неприводимым - не допускало дальнейшего сужения на замкнутое подпространство без уменьшения образа. Неприводимые С. О. Являются отправной точкой построения теории абсолютов топологич.

Пространств. При неприводимом С. О. -вес образа всегда равен -весу отображаемого пространства и число Суслина образа равно числу Суслина отображаемого пространства. Если вполне регулярное Т 1 -пространство X отображается на вполне регулярное Т 1 -пространство Y посредством С. О., то Xгомеоморфно замкнутому подпространству топологич. Произведения пространства У на нек-рый бикомпакт. Диагональное произведение С. О. И непрерывного отображения всегда является С. О., в частности диагональное произведение С. О. И уплотнения является гомеоморфизмом, и если топологическое пространство совершенно отображается и уплотняется на нек-рое (вообще говоря, другое) метрическое пространство, то оно само метризуемо. Лит.:[1] Архангельский А.

В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. [2] Бурбаки Н., Общая топология.