Сопряженная Функция

- понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций. 1) С. Ф. К комплекснозначной функции . Наз. Функцию значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f. 2) С. Ф. К гармонической функции - см. Сопряженные гармонические функции. 3) С. Ф. К -периодической суммируемой на функции f(x)наз. Функцию она существует почти всюду и почти всюду совпадает с -суммой, или суммой Абеля - Пуассона сопряженного тригонометрического ряда. 4) С. Ф. К функции определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы <x,у>) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.

С. Ф. К функции одного переменного будет функция С. Ф. К функции в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением будет функция С. Ф. К норме в нормированном пространстве будет функция N*(y), равная нулю, если и равная если Если f - гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* - не что иное, как Лежандра преобразование функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом [1], в других терминах. У. Юнг определял С. Ф. К функции где непрерывна и строго возрастает, соотношением где - функция, обратная к Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае - В. Фенхелем [2], в бесконечномерном - Ж.

Моро [3] и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено неравенство Юнга С. Ф.- выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*. однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y (теорема Фенхеля - Моро). Подробнее см. [5] и [6]. См. Также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе. Лит.:[1] Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A.