Сопряженное Дифференциальное Уравнение

к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению l(y)=0 - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение где С т (I) - пространство m раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на и (черта означает операцию комплексного сопряжения). Из определения следует, что где - скаляр. Сопряженным к уравнению является уравнение l(y)=0. Для любых праз непрерывно дифференцируемых функций у(t)и справедливо тождество Лагранжа. из к-рого следует формула Грина. Если y(t), - произвольные решения уравнений l(у)=0и то Знание линейно независимых решений уравнения позволяет понизить порядок уравнения l(y) = 0 на . Единиц (см. [1] - [3]). Для системы дифференциальных уравнений с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t), сопряженная система определяется равенством (см.

[1], [4]). Здесь A*(t)- эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t). Тождество Лагранжа и формула Грина приобретают вид здесь - скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат). Если x(t), - произвольные решения уравнений L(x) = 0, то Понятие С. Д. У. Тесно связано с общим понятием сопряженного оператора. Если, напр., l - линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства С n (I) в пространство С(I)по формуле (1), то сопряженный дифференциальный оператор l* действует из пространства С*(I). Сопряженного к С(I), в пространство С*(I), сопряженное к С n(I). Сужение оператора l* на пространство С n(I) определяется формулой (2) (см. [5]). С. Д. У. Определяется, кроме того, для линейного дифференциального уравнения с частными производными (см.

[6], [5]). Пусть и Uk - линейные и линейно независимые функционалы на пространстве Тогда сопряженная краевая з ад ача к линейной краевой задаче определяется равенствами Здесь - линейные функционалы на пространстве описывающие сопряженные краевые условия, т. Е. Определяемые так, чтобы равенство (см. Грина формулы) выполнялось для любой пары функций удовлетворяющей условиям Uk(y) =0, K=l,..., т, Если - линейные формы переменных то - тоже линейные формы переменных . Пример. Для задачи с действительными сопряженная краевая задача имеет вид Если задача (2) имеет kлинейно независимых решений (в атом случае ранг краевой задачи r=n-k). То задача (3) имеет m-n+k линейно независимых решений (ее ранг r' = 2п- т-k).

При т=п задачи (2), (3) имеют одинаковое число линейно независимых решений. Поэтому при т=n задача (2) не имеет решений, кроме тривиального, в том и только в том случае, когда этим свойством обладает сопряженная краевая задача (3). Справедлива альтернатива Фредгольма. Полуоднородная краевая задача l(y) = f(t), Uk(y)=0, k = l, ..., п, имеет решение, если функция f(t)ортогональна ко всем нетривиальным решениям сопряженной краевой задачи (3), т. Е. (см. [1] - [3], [7]). Для задачи о собственных значениях сопряженной задачей о собственных значениях наз. Задача Если - собственное значение задачи (4), то - собственное значение задачи (5). Собственные функции y(t), отвечающие собственным значениям и задач (4) и (5) соответственно, ортогональны, если (см.

[1] - [3]). Для линейной краевой задачи где Uесть т-вектор-функционал на пространстве непрерывно дифференцируемых комплексно-значных n-вектор-функций, т<2 п, сопряженная краевая задача определяется равенствами (см. [1]). Здесь U* есть (2 п-m )-вектор-функционал, определяемый так, чтобы равенство выполнялось для любой пары функции удовлетворяющей условиям Задачи (0), (7) обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше (см. [1]). Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная краевая задача определяется также для линейной краевой задачи для уравнения с частными производными (см. [6], [7]). Лит.:[1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер.

С нем., 5 изд., М., 1976. [2] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, М., 1969. [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. С англ., М., 1958. [4] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. С англ., М., 1970. [5] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. С англ., ч. 2, М., 1986. [6] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976. [7] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Д изд., М., 1981. Е. Л. Тонков.