Сопряженные Гармонические Функции

гармонически сопряженные функции,- пара действительных гармонич. Функций (г. Ф.) . И v, являющихся действительной и мнимой частями нек-рой аналитич. Ции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного z=x+iy г. Ф. U=и( х, у )и v=v(x, у) являются С. Г. Ф. В области Dкомплексной плоскости С тогда и только тогда, когда они удовлетворяют в Dсистеме уравнений Коши - Римана В системе (1) роль г. Ф. Ии . Не симметрична. Функция г является сопряженной для и, но для vсопряженной будет не и, а - и. Если задана г. Ф. и=и( х, у), то С. Г. Ф. V=v(x, у )и вся аналитич. Ция f=u+iv легко определяются с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого ic;это можно сделать, напр., по формуле Гурса в окрестности нек-рой точки из области определения и.

В случае многих комплексных переменных z=x+iy=(z1,..., zn)=(x1,. ., xn)+i(y,. ., у n), п>1, система Коши - Римана становится переопределенной. Из (3) вытекает, что при n>1 функция иуже не может быть задана как произвольная г. Ф.- она должна принадлежать подклассу плюригармонических функций;сопряженную плюригармонич. Функцию vможно и в этом случае найти по формуле (2). Известны различные аналоги системы С. Г. Ф. ( и, v )в виде вектор-функции f=(ul,...,um), компоненты к-рой uj=uj(xi, ..., х n )суть действительные функции действительных переменных xl,. ., х п. Такова, напр., градиентная система f=(u1,. ., и n), удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши - Римана к-рая записывается также в сокращенном виде.

Divf=0, rotf = 0. Если условия (4) выполняются в области Dевклидова пространства гомеоморфной шару, то существует г. Ф. Hв Dтакая, что f=gradh. При п=2 получают, что u2+iu1 есть аналитич. Ция переменного z= =x1+ix2. Поведение решений системы (4) в нек-рых вопросах аналогично системе Коши - Римана (1), напр. При изучении граничных свойств (см. [3]). Лит.:[1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972. [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. [3] С тейн М., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. С англ., М., 1974. К. Д. Соломенцев.