Спектральные Гомологии

- обратный предел групп гомологии с коэффициентами в абелевой группе Gнервов открытых покрытий топологии, пространства X(они наз. Также гомологиями Чеха, или Александрова - Чеха). Для замкнутого множества группы могут быть определены аналогичным образом с помощью подсистем всех тех множеств из к-рые имеют непустое пересечение с А. Обратный предел групп пар G) наз. Группой С. Г. пары (X, А). Поскольку функтор обратного предела не сохраняет точность, гомологич. Последовательность пары (X, А )вобщем случае не точна. Она полуточна в том смысле, что композиция любых двух отображений равна нулю. Для компактных Xпоследовательность оказывается точной в случае, когда G - компактная группа или иоле (в более общей ситуации - когда группа Gалгебраически компактна).

С. Г. Непрерывны в том смысле, что Отсутствие точности - не единственный недостаток С. Г. Группы оказываются неаддитивными в том смысле, что гомологии дискретного объединения могут отличаться от прямой суммы G). От этого недостатка свободны спектральные гомологии с компактными носителями, определяемые как прямой предел взятый по всем компактным подмножествам Естественность функтора подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (симплициальные, клеточные, сингулярные) - это гомологии с компактными носителями. Несовпадение функторов и - один из примеров того, как гомологии реагируют на логич. Нюансы в их исходном определении (наоборот, когомологии проявляют в этом отношении значительную устойчивость).

Среди логически возможных вариантов определения гомологии в общих категориях топологич. Пространств правильный был отобран не сразу, в связи с чем ассоциированная с когомологиямв Александрова - Чеха теория гомологии стала распространяться лишь в 60-е гг. (хотя первые определения были даны в 40-50-х гг.). Теория удовлетворяет всем Стинрода - Эйленберга аксиомам (и является теорией с компактными носителями). Для компактных Xимеет место точная последовательность - производный функтор обратного предела). В общем случае имеется эпиморфизм к-рый имеет нулевое ядро для любой алгебраически компактной группы G. Для любого гомологически локально связного (по отношению к локально компактного пространства функторы и изоморфны.

Лит.:[1] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. С англ., М., 1958. [2] Скляренко Е. Г., лУспехи матем. Наук.