Хаара Мера

- ненулевая положительная мера на -кольце . Подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию левоинвариантности. для всех где либо условию правоинвариантности. для всех где Соответственно говорят о лево- или правоинвариантной X. М. Всякая X. М. -регулярна, т. Е. для всех Левоинвариантная (а также правоинвариантная) Х. М. Существует и определена однозначно с точностью до положительного множителя. Это было установлено А. Хааром [1] (при дополнительном предположении о сепарабельности группы G). Если f - финитная непрерывная функция на G, то f интегрируема относительно левоинвариантной X.

М. На G и соответствующий интеграл левоинвариантен (см. Инвариантное интегрирование), т. Е. для всех Аналогичным свойством обладает правоинвариантная X. М. Мера Хаара всей группы G конечна тогда и только тогда, когда G компактна. Если - левоинвариантная X. М. На G, то для любого имеет место равенство где - непрерывный гомоморфизм группы G в мультипликативную группу R+ положительных действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной финитной функции f на G. Гомоморфизм наз. Модулем группы G. Мера является правоинвариантной X. М. На G. Если то группа Gназ. Унимодулярной. В этом случае левоинвариантная X. М. Является также и правоинвариантной и наз. Двусторонне инвариантной. В частности, любая компактная, дискретная и абелева локально компактная группа, а также любая связная полупростая или нильпотентная группа Ли унимодулярна.

Унимодулярность группы G равносильна также тому, что любая левоинвариантная Х. М. на G инверсионно инвариантна, т. Е. для всех Если G - группа Ли, то интеграл но левоинвариантной (правоинвариантной) X. М. На G определяется формулой где - линейно независимые левоинвариантные (правоинвариантные) дифференциальные формы 1-го порядка на G (см. Маурера - Картана форма), п=dimG. Модуль группы Ли G определяется формулой где Ad - присоединенное представление. Примеры. 1) X. М. На аддитивной группе и на факторгруппе (группа вращений окружности) совпадает с обычной лебсговской мерой. 2) Полная линейная группа или С, унимодулярна, причем X. М. Имеет вид где k=n при и k=2n при a dx - лебеговская мора в евклидовом пространстве всех матриц порядка .

Над полем Ф. Если G - локально компактная группа, H - ее замкнутая подгруппа, X - однородное пространство G/H, и - модули групп Gи Н соответственно, - непрерывным гомоморфизм группы G в задаваемый формулой то существует положительная мера v на -кольце . Множеств порожденном семейством компактных подмножеств в X, однозначно определяемая условием. где f - любая непрерывная финитная функция на G, причем для всех непрерывных финитных функций f на X. Лит. [1] Нааr A., лAnn. Math..