Хаара Система

- одна из классических ортонормированных систем функций. Функции Хаара этой системы определяются на отрезке [0, 1] следующим образом. если n=2m+k, k=1,. .,2 т, т=0,1,. ., то Во внутренних точках разрыва функции Хаара полагаются равными полусумме своих предельных значений справа и слева, а на концах отрезка [0, 1] - своим предельным значениям изнутри отрезка. Система определена А. Хааром ([1]). Она ортонормирована на отрезке [0, 1]. Ряд Фурье по этой системе от любой непрерывной на отрезке [0, 1] функции сходится к ней равномерно. Более того, если - модуль непрерывности функции f(t) на отрезке [0, 1], то для частных сумм Sn(t, f) порядка пряда Фурье-Хаара функции f(t) справедливо неравенство X. С. Является базисом в пространстве Lp [0, 1], Если и - интегральный модуль непрерывности функции f(t)в метрике пространства L р [0.

1], то (см. [3]) X. С. Является безусловным базисом в пространстве Lp [0, 1] при 1<р<oo (бесконечность). Если функция f(t)интегрируема по Лебегу на отрезке [0, 1], то ее ряд Фурье-Хаара сходится к ней в любой точке Лебега этой функции и, в частности, почти всюду на [0, 1]. При этом сходимость (и абсолютная сходимость) ряда Фурье-Хаара в фиксированной точке отрезка [0, 1] зависит лишь от значений функции в любой сколь угодно малой окрестности этой точки. Для рядов Фурье - Хаара существенно отличаются друг от друга следующие свойства. А) абсолютная сходимость всюду. Б) абсолютная сходимость почти всюду. В) абсолютная сходимость на множестве положительной меры. Г) абсолютная сходимость ряда коэффициентов Фурье.

Для тригонометрич. Рядов все эти свойства равносильны. Свойства коэффициентов Фурье - Хаара резко отличаются от свойств тригонометрич. Коэффициентов Фурье. Напр., если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1], а an(f) - ее коэффициенты Фурье по системе то справедливо неравенство откуда следует, что В то же время коэффициенты Фурье - Хаара непрерывных функций не могут убывать слишком быстро. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [0,1] и то f(t)=const на [0,1]. Для функций справедливы следующие оценки (см. [3]). Если же f(t)имеет квнечную вариацию V(f) на отрезке [0,1], то Все эти неравенства являются точными в смысле порядка убывания их правых частей при (в соответствующих классах) (см. [3]). Интересной особенностью отличаются ряды вида безусловно сходящиеся почти всюду.

Если ряд вида (*) при любом порядке следования его членов сходится почти всюду на множестве положительной меры Лебега (исключительное множество меры нуль может зависеть от порядка следования членов ряда (*)), то этот ряд сходится абсолютно почти всюду на [0, 1]. Для рядов вида (*) справедлив следующий критерий. Чтобы ряд (*) сходился почти всюду на измеримом множествe необходимо и достаточно, чтобы ряд сходился почти всюду на Е. Ряды Хаара могут служить для представления измеримых функций. Для любой конечной почти всюду на отрезке [0,1] измеримой функции f(t)существует ряд вида (*), к-рый почти всюду на [0,1] сходится к функции f(t). При этом конечность функции f(t)существенна. Не существует ряда вида (*), сходящегося к (или на множестве положительной меры Лебега.

Лит.:[1] Нааr A., лMath. Ann,.