Характеристика

- одно из основных понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Роль X. Проявляется в существенных свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства решений, разрешимость различных задач, их корректность и др. Пусть - линейный дифференциальный оператор с частными производными порядка m, a - его символ. Здесь -мультииндекс, | v |=v1+ . .+vn, Пусть S -гиперповерхность, определенная в уравнением причем при В этом случае Sназ. Характеристической поверхностью, или характеристикой, для оператора L( х, D). Другие названия X. Характеристическое многообразие, характеристическая линия (в случае Ниже рассмотрен пример задачи Коши. Пусть S - произвольная (не обязательно характеристическая) гиперповерхность в определенная уравнениями Пусть u0, ..., um-1 -функции, определенные на Sв окрестности Uточки и поставлена задача Коши относительно неизвестной функции и.

Здесь f-заданная функция, L(x, D) - заданный линейный дифференциальный оператор порядка т, п - ортонормированный вектор к S. Считая, для определенности, заменой переменных приходят к уравнению Невыписанное выражение под знаком не содержит частных производных от функции ипо порядка т. Возникают два случая. В первом случае деление уравнения (2) на приводит к уравнению, разрешенному относительно старшей частной производной по переменной т. Е. Записанному в нормальной форме. Начальным условиям можно придать вид Такая постановка задачи Коши хорошо изучена и, напр. При аналитически заданных функциях в уравнении и в начальных условиях, существует единственное решение этой задачи в классе аналитич. Ций в достаточно малой окрестности точки х 0.

Во втором случае точка х 0 является характеристической, а если равенство (1) верно для всех то поверхность Sявляется X. В этом случае начальные данные не могут быть произвольными и исследование задачи Коши усложняется. Напр., для уравнения могут быть заданы начальные условия на одной из его X. X1=0. Если функция u1 отлична от постоянной, то задача Коши (3), (4) не имеет решения в пространстве С 2. Если же функция u1 постоянна, напр. Равна то решение неединственно в С 2, т. К. Им может быть любая функция вида u(x1, х2) = ах1 + b (х 1) + и0 (х 2). Где Таким образом, задача Коши существенно различается в зависимости от того, заданы ли начальные данные на характеристической поверхности или нет. X. Обладает свойством инвариантности при преобразовании независимых переменных.

Если есть решение уравнения (1) и если преобразование переводит удовлетворяет уравнению где Другое свойство X. Таково, что относительно X. Sоператор L(x, D )является внутренним дифференциальным оператором. Эллиптические линейные дифференциальные операторы определяются как операторы, для к-рых не существует X. (действительных). Определение гиперболич. И параболич. Операторов также тесно связано с понятием X. Так, линейный дифференциальный оператор 2-го порядка относится к гиперболич. Типу, если он имеет два семейства X., и к параболическому, если - одно. Знание X. Дифференциального уравнения позволяет свести это уравнение к более простому виду. Напр., пусть задано гиперболич. Уравнение Для него уравнение X. (1) имеет вид Последнее уравнение определяет два различных семейства X.

Существуют две X. Из этих семейств такие, что соответствующие им функции и определяют замену переменных по формулам и приводят уравнение (5) к канонич. Виду Для нелинейного дифференциального уравнения где -мультииндексы, причем X. Sопределяется как гиперповерхность в с уравнением причем при и Символ в атом случае для оператора (6), задаваемого функцией F( х, и, v, w), определяется так. Кроме переменных хи очевидно,может зависеть от Пусть, напр., задано уравнение 1-го порядка (m = 1). Кроме того, для простоты п=2. Уравнение (6) принимает вид с функцией F(x, у, z, p, q). Уравнение X. Т. К. Решение этого уравнения фактически может зависеть от и, то ее задают в параметрич. Виде причем эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям x'(t) = Fp, y'(t) = Fq, z'(t) = pFp + qFq, P'(t)=-Fx-pFz, g'(t)=-Fy-qFz.

Геометрически это определяет т. Н. характеристическую полосу (при Проекция этой полосы на пространство (x(t), y(t), z(t))определяет такую кривую линию в что в каждой своей точке она касается плоскости с направляющими коэффициентами p(t), q(t). Эта кривая также наз. X. Уравнения (6). Лит.:[1] Мизохата С., Теория уравнений с частными производными, пер. С япон., М., 1977. [2] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. С нем., М., 1966. [3] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнении, пер. С англ., М., 1970. [4] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961. [5] К ошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М., Уравнения в частных производных математической физики, М., 1970.

[6] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981. [7] Михлин С. Г., Курс математической физики, М., 1968. [8] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977. Ю. В. Комленко.