Частично Упорядоченное Множество

непустое множество, на к-ром зафиксирован нек-рый порядок. Ч. У. М. Является примером модели. Примеры Ч. У. М. 1) множество натуральных чисел с обычным порядком. 2) множество натуральных чисел, где означает, что аделит b. 3) множество всех подмножеств нек-рого множества, где означает, что 4) множество всех действительных функций на отрезке [0, 1], где означает, что для всех 5) множество конечных возрастающих последовательностей натуральных чисел, где означает, что и а i=bi при (см. Дерево);6) произвольное непустое множество, где означает а=b (такое Ч. У. М. Наз. Тривиальным, или дискретным). Каждое Ч. У. М. Рможно рассматривать как малую категорию, объектами к-рой служат элементы множества Р, а множество морфизмов Н( а, b )одноэлементно, если и пусто в остальных случаях.

В свою очередь, каждая малая категория, где каждое из множеств H( а, b )содержит не более одного элемента, определяет Ч. У. М. Если на Ч. У. М. Ропределить отношение полагая если то это отношение оказывается порядком. Возникающее таким образом Ч. У. М. Наз. Дуальным, или двойственным, к Р. Отображение Ч. У. М. Р в Ч. У. М. Р' наз. (анти)изотонным, или (анти)гомоморфизмом, если в Рвлечет в Р'. Взаимно однозначный (анти)гомоморфизм наз. (анти)изоморфизмом. Тождественное отображение Ч. У. М. Р на себя является антиизоморфизмом этого Ч. У. М. На дуальное ему. Изоморфизм является частным случаем резидуалъного отображения. Последовательное выполнение двух антигомоморфизмов дает гомоморфизм. Совокупность всех Ч. У. М. Образует категорию, если морфизмами считать изотопные отображения.

Всякое непустое подмножество Ч. У. М. Является Ч. У. М. Относительно индуцированного на нем порядка. Если А- непустое подмножество Ч. У. М. Р, то нижний конус (верхний конус определяется как совокупность всех таких элементов что для всех Если и то подмножество наз. Интервалом (хотя с точки зрения словоупотребления, принятого в математич. Анализе, здесь следовало бы говорить лотрезок.