Этальные Когомологии

- когомологии пучков в эталъной топологии. Они определяются стандартным образом при помощи производных функторов. А именно, пусть X - схема и Xet -этальная топология на X. Тогда категория пучков абелевых групп на Xet является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных объектов. Функтор Г глобальных сечений точен слева, и его производные функторы (где -пучок абелевых групп на Xet) наз. Функторами когомологий. При этом Аналогично определяются высшие прямые образы пучка относительно морфизма для них имеет место аналог Лере спектральной последовательности. Если -пучок неабелевых групп, удается определить множество (см. Нсабелевы когомологии). Наиболее важные результаты в теории Э. К. Получены для конструктивных этальных пучков абелевых групп.

Центральный из них - теорема конечности и замены базы. Пусть -собственный морфизм, и -конструктивный пучок на X. Тогда пучки конструктивны, и слой в геометрич. Точке изоморфен группе когомологии слоя Аналогичные теоремы верны для любого морфизма конечного типа, если использовать когомологии с компактными носителями. Если X - алгебраич. Многообразие над алгебраически замкнутым полем, то для любого конструктивного пучка на . Когомологии с компактными носителями конечны и равны 0 при q > 2dim X. Если к тому же X - аффинное многообразие, то для q>dim X. Для многообразий над полем комплексных чисел Э. К. Конструктивных пучков совпадают с классич. Когомологиями со значениями в этих пучках. Справедлива теорема о специализации для гладкого морфизма.

Пусть - гладкий собственный морфизм схем, и целое число побратимо на Y. Тогда пучки локально постоянны на Y. Для Э. К. Имеют место аналог двойственности Пуанкаре (см. Двойственность в алгебраической геометрии) и Кюннета формулы. Каждый алгебраич. Цикл коразмерности iдает класс когомологий в размерности 2i, что позволяет построить теорию Чжэня классов. Э. К. Конструктивных пучков используются для построения l-адических когомологий и доказательства гипотез Вейля о дзета-функции. Лит.:[1] Гротендик А., в кн. Международный математический конгресс в Эдинбурге. Сб. Докладов, М., 1962, с. 116 - 37. [2] Мили Дж., Этальные когомологии, пер. С англ., М., 1983. [3] Cohomologie etale, В.-[е. А.], 1977. [4] Cohomologie l'-adique et fonctions, В.- [е.

А.], 1977. [5] Theorie des topos et Cohomologie etale des schemes, t. 1-3, B.- [e. A], 1972-73. В. И. Данилов.