Якоби Многочлены

многочлены, ортогональные на отрезке [-1, 1] с весовой функцией Стандартизованные Я. М. Определяются Рoдрига фoрмулой а ортонормированные Я. М. Имеют вид Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению При и для ортонормированных Я. М. Имеет место весовая оценка где постоянная с 1 не зависит от пи х. А в точках последовательность возрастает со скоростью и соответственно. Ряды Фурье по Я. М. Внутри интервала (-1, 1) аналогичны тригонометрич. Рядам Фурье. А в окрестности концов отрезка ортогональности свойства рядов Фурье - Якоби иные, ибо в точках ортонормированные Я. М. Возрастают неограниченно. Равномерная сходимость ряда Фурье - Якоби на всем отрезке [-1, 1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифференцируема рраз на этом отрезке и причем где При этих условиях выполняется неравенство где постоянная с 2 не зависит от пи х.

С другой стороны, для остатка ряда Фурье - Якоби при и справедлива весовая оценка где постоянная с 3 не зависит от пи х,a En(f) - наилучшее равномерное приближение непрерывной функции f(x)на отрезке [-1, 1] многочленами порядка не выше п. Я. М. Были введены К. Якоби [1] в связи с решением гипергеометрич. Уравнения. Частными случаями Я. М. Являются Лежандра многочлены (при Чебышева многочлены1-го рода (при Чебышева многочлены 2-го рола (при улътрасферические многочлены (при См. Также ст. Классические ортогональные многочлены. Лит.:[1] Jасоbi С., лJ. Reine und angew. Math..