Аффинное Преобразование

евклидова пространства - взаимно однозначное точечное отображение плоскости или пространства на себя, при к-ром трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют три точки, также лежащие на одной прямой. Таким образом, при А. П. Прямые переходят в прямые. А. П. Плоскости переводит пересекающиеся прямые в пересекающиеся, параллельные - в параллельные. При А. П. Пространства каждая плоскость аффинно отображается на нек-рую плоскость. При этом пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, параллельные - в параллельные. Кроме того, сохраняется взаимное расположение двух прямых. Пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся, параллельные - в параллельные, скрещивающиеся - в скрещивающиеся. При А. П. Отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению их образов.

Сохраняется также отношение площадей двух квадрируемых фигур (на евклидовой плоскости) и отношение объемов двух кубируемых тел (в евклидовом пространстве). При А. П. Множество векторов плоскости (пространства) взаимно однозначно отображается на множество векторов плоскости (пространства) и это отображение является линейным. А. П. Задается в аффинной системе координат невырожденным (неоднородным) линейным преобразованием;таким образом, в случае плоскости А. П. Аналитически выражаются при помощи формул с дополнительным требованием Аналогично задаются А. П. В пространстве. При А. П. Алгебрапч. Линия переходит в алгебраическую. При этом порядок линии сохраняется. В частности, линия 2-го порядка переходит в линию 2-го порядка, причем эллипсы переходят в эллипсы, гиперболы-в гиперболы, параболы - в параболы и т.

Д. Примеры А. П. Изометрич. Преобразование, преобразование подобия, равномерное сжатие плоскости к прямой. Всякое А. П. Плоскости является произведением изометрич. Преобразования и двух равномерных сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым. Всякое А. П. Пространства является произведением изометрич. Преобразования и трех равномерных сжатий к трем попарно перпендикулярным плоскостям. А. П. Образуют группу. Преобразования подобия составляют подгруппу этой группы. Множество изометрич. Преобразований - подгруппу группы преобразований подобия. А. П. Являются самыми общими взаимно однозначными отображениями плоскости (пространства) на себя, сохраняющими прямые линии. Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968.

[2] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. С. Пархоменко.