Аффинное Пространство

над полем k - множество А(элементы к-рого наз. Точками А. П.), к-рому сопоставлены векторное пространство над (наз. Пространством присоединенным к А).и отображение множества в пространство (образ элемента обозначается и наз. Вектором с началом аи концом b), обладающее свойствами. для любой фиксированной точки аотображение является биекцией для любых точек выполняется соотношение Шаля. Размерностью А. П. A наз. Размерность L. Точка и вектор определяют другую точку, обозначаемую т. Е. Аддитивная группа векторов пространства Lтранзитивно и свободно действует на А. П., соответствующем . Примеры. 1) Множество векторов пространства является А. П. , присоединенное к нему пространство совпадает с . В частности, поле скаляров есть А.

П. Размерности 1. Если , то наз. Гс-м ерным координатным А. П. Над полем k, точки его определяют вектор 2) Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем kявляется А. П. 3) Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является А. П., присоединенным к к-рому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений. Подмножество А. П. Аназ. Аффинным подпространством (или линейным многообразием) в А, если множество векторов образует подпространство пространства Каждое аффинное подпространство имеет вид - нек-рое подпространство в , а а - произвольный элемент из А'. Отображение наз. Аффинным, если существует линейное отображение присоединенных векторных пространств .

такое, что для любых Биективное аффинное отображение наз. Аффинным изоморфизмом. Все А. П. Одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой. Аффинные изоморфизмы А. П. A в себя образуют группу, наз. Аффинной группой А. П. Аи обозначаемую . Аффинная группа А. П. обозначается . Каждый элемент задается формулой где - обратимая матрица. Аффинная группа содержит инвариантную подгруппу, наз. Подгруппой параллельных переносов, состоящую из отображений , для к-рых отображение ср. является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства . Отображение определяет сюръективный гомоморфизм в общую линейную группу , ядром к-рого является подгруппа параллельных переносов. Если - евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы наз.

Подгруппой евклидовых движе-н и п. Прообраз специальной линейной группы наз. Экв и аффинной подгруппой (см. Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа состоящая из отображений таких, что для нек-рого и любых наз. Центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе GL пространства L. В аягебраич. Геометрии А. П. Также наз. аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное А. П. Можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраич. Множества, снабженного топологией Зариского. Аналогично строится А. П., ассоциированное с векторным пространством над телом k. Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер.

С франц., М., 1962. И. В. Долгачев, А. П. Широков.