Бейесовский Подход

к статистическим задачам - подход, основанный на предположении, что всякому параметру в статистич. Проблеме принятия решения приписано нек-рое распределение вероятностей. Всякая общая статистич. Проблема принятия решения определяется следующими элементами. Пространством выборок , пространством значений неизвестного параметра , семейством распределений вероятностей на пространством решений п функцией , характеризующей потери от принятия решения d, когда истинное значение параметра есть . Цель же проблемы принятия решения состоит в отыскании в определенном смысле наилучшего правила (решающей функции), сопоставляющей каждому результату наблюдения . Решение . При Б. П., когда считается, что неизвестный параметр 0 является случайной величиной с заданным (априорным) распределением , наилучшая решающая функция (бейесовская решающая функция) определяется как функция, на к-рой достигаются минимальные полные потери , где а Таким образом, При отыскании бейесовской решающей функции полезным оказывается следующее замечание.

Пусть где и - некоторые s-конечные меры. Тогда, предполагая возможным смену порядков интегрирования, находим Отсюда видно, что для данного есть то значение , на к-ром достигается или, что эквивалентно, где Но по Бейеса формуле Тем самым для данного есть то значение , на к-ром достигают минимума условные средние потери . Тогда откуда следует, что достигается на функции Преимущество Б. П. Состоит в том, что полные потери оказываются числом (в отличие от потерь , зависящих от неизвестного параметра ), и, следовательно, заведомо существуют, если и не оптимальные, то, по крайней мере, -оптимальные () решающие функции , для к-рых Недостатком Б. П. Является необходимость постулировать как существование априорного распределения для неизвестного параметра, так и знание его формы (в определенной степени последнее обстоятельство преодолевается в рамках бейесовского подхода эмпирического).

Лит.:[1] Вальд А., Статистические решающие функции, в сб. Позиционные игры, М., 1967, с. 300-522. [2] Де Гроот М., Оптимальные статистические решения, пер. С англ., М., 1974. А. Н. Ширяев.