Борелевская Функция

В- функция,- функция, для к-рой все подмножества вида ) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. Ф. Функции, измеримые по Борелю, В- измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в общем случае измеримых функций, не выводят из класса Б. Ф., но из класса Б. Ф., в отличие от общего случая, не выводит и взятие суперпозиции двух Б. Ф. Более того (см. [1]), если - измеримая функция на любом пространстве , a gесть Б. Ф. На пространстве действительных чисел, то функция измерима на пространстве Всякая Б. Ф. Измерима по Лебегу (см. Измеримая функция). Обратное неверно. Однако для любой измеримой по Лебегу функции f найдется такая Б. Ф. G, что почти всюду (см. [1]). Б.

Ф. Наз. Также иногда бэровскими функциями, ибо множество всех Б. Ф. Совпадает с множеством функций, принадлежащих Бэра классам (теорема Лебега, см. [2]). Б. Ф. Могут быть классифицированы по порядкам боре-левских множеств . Полученные классы будут соответствовать классам Бэра. Понятие Б. Ф. Обобщается на функции со значениями в любом метрич. Пространстве (см. [3]). В этом случае говорят также о B-измеримых отображениях. Б. Ф., помимо теории множеств и теории функций, находят применение в теории вероятностей (см. [1], [4]). Лит.:[1] X а лмош П., Теория меры, пер. С англ., М., 1953. [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. С нем., М.- Л., 1937. [3] Куратовский К., Топология, т. 1, М., 1966. [4] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд.,М., 1974.

В. А. Скворцов.