Бохнера - Мартинелли Представление

Мартинелли - Бохнера представление, Мартинелли- Бохнера формула, - интегральное представление голоморфных функций, определяемое следующим образом (см. [1], [2]). Пусть функция голоморфна в области с кусочно гладкой границей и непрерывна в ее замыкании . Тогда выражение где означает, что член следует опустить, наз. Б. -М. П. При n=1 Б.-М. П. Совпадает с интегральной формулой Коши (см. Коши интеграл), однако при его ядро не является голоморфным по z, и этим объясняется ограниченность применения В. -М. П. В теории функций многих комплексных переменных. Ядром Б.-М. П. Является дифференциальная форма по z бисте-пени ( п, п-1). определенная в , с особенностью в точке , (т. Е. ) вне особенности. При n>1 форма равна где - форма бистепени , коэффициент к-рой является фундаментальным решением уравнения Лапласа.

Здесь Следующее интегральное представление, обобщающее формулу (*), является аналогом формулы Коши -Грина (см. Коши интеграл). Если функция f непрерывно дифференцируема в замыкании области D МCn с кусочно гладкой границей дD, то для всякой точки zОD Функция где Г - гладкая гиперповерхность в и f - функция на Г, интегрируемая по мере Лебега, наз. Интегралом типа Бохнера - Мартинелли. Как и для интегралов типа Коши, для интегралов типа Бохнера - Мартинелли справедлива формула Сохоцкого при обычных ограничениях на Г и f. Интеграл типа Бохнера - Мартинелли является комплексной функцией, гармонической всюду вне Г. В общем случае эта функция голоморфна лишь при п=1. Если , то при условие вне эквивалентно голоморфности в .

Б.-М. П. Используется для вывода других интегральных представлений (напр., Бергмана - Вейля представления), для голоморфного продолжения с границы, а также в теории граничных значений голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Б.- М. П. Получено С. Бохнером и Э. Мартинелли (см. [1], [2]). Лит.:[1] Восhner S., "Ann. Math.", 1943, v. 44, №4, p. 652-673. [2] Martinelli E., "Rend. Accad. Italia", 1938, v. 9, p. 269-83. [3] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.