Брауэра - Севери Многообразие

алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. Замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. Свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл связь Б. -С. М. С центральными простыми алгебрами над полем kи c Брауэра группой. Простейшим нетривиальным примером одномерного Б.- С. М. Является проективная коника Q. на действительной проективной плоскости . Над полем комплексных чисел это многообразие изоморфно проективной прямой . Множество всех одномерных Б.- С. М. (рассматриваемых с точностью до изоморфизма) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством проективных невырожденных коник (рассматриваемых с точностью до проективной эквивалентности над k), к-рое, в свою очередь, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством (неизоморфных) алгебр обобщенных кватернионов над k.

В приведенном выше примере конике соответствует алгебра обычных кватернионов. В многомерном случае множество классов и-мерных Б. -С. М. (т. Е. Множество Б. -С. М., различаемых с точностью до k-изоморфизма) может быть отождествлено с множеством Галуа когомологий где - проективная группа автоморфизмов проективного пространства (см. [3], [4]). Этим же множеством когомологий описываются классы k-изоморфных центральных простых й-алгебр ранга (т. Е. Форм матричной алгебры ). Более явно связь Б.- С. М. С центральными простыми алгебрами устанавливается следующим образом, k-алгебре Аранга сопоставляется многообразие Xее левых, идеалов ранга г, к-рое задается как замкнутое подмногообразие в Грассмана многообразии всех k-линейных подпространств размерности rв А.

В нек-рых случаях многообразие Xможно задать с помощью норменных уравнений, как, например, в случае алгебр кватернионов. Взаимосвязь Б.- С. М. И алгебр существенно используется при изучении как тех, так и других (см. [1], [4]). Наиболее существенными свойствами В.- С. М. Являются следующие. Б. -С. М. Xтогда и только тогда k-изоморфно проективному пространству Р nk , когда оно имеет точку в поле k. Любое Б.- С. М. Имеет точку в нек-ром конечном сепарабельном расширении Кполя k(см. [1]). Для Б.- С. М., определенных над полем алгебраич. Чисел, справедлив Хассе принцип. Поле рациональных функций k(X).на В. -С. М. Xявляется полем разложения соответствующей алгебры А;более того, произвольное расширение Кполя kтогда и только тогда является полем разложения для А, когда Xимеет К- точку (см.

[4]). В связи с обобщением на схемы понятий центральной простой алгебры и группы Брауэра было введено понятие схем Брауэра - Севери, обобщающее понятие Б.- С. М. (см. [2]). Пусть - морфизм схем. Схема Рваз. Схемой Брауэра - Севери, если локально, в этальной топологии схемы X, схема Ризоморфна проективному пространству над X. Схема Рнад схемой Xтогда и только тогда является схемой Брауэра - Севери, когда - конечно представленный собственный плоский морфизм и все геометрич. Слои его изоморфны проективным пространствам [2]. Лит.:[1] F., "Ann. Ecole Normal supereur", 1944, t. 61, p. 249-300. [2] Grоthendiесk A., Le groupe de Brauer, в кн. Seminaire Bourbaki, annge 17, 1964/65, N. Y.- Amst., exposes 290, p. 1-21. [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер.

С франц., М., 1968. [4] Рокетт П., "Математика", 1967, т. И, в. 5, с. 88 -116. В. А. Исковских.