Брауэра Группа

поля k - группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем k, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. Две центральные простые k-алгебры А к В конечного ранга эквивалентны, если существуют такие целые положительные числа ти п, что тензорные произведения являются изоморфными k-алгебрами (здесь алгебра квадратных матриц порядка rнад k). Тензорное умножение алгебр индуцирует на множестве классов эквивалентных центральных простых конечномерных алгебр структуру абелевой группы, к-рая и наз. Б. Г. Поля kи обозначается Brk. Нулевым элементом этой группы служит класс полных матричных алгебр, а обратным элементом к классу алгебры А - класс ее инверсной алгебры. Каждый ненулевой класс содержит ровно одну, с точностью до изоморфизма, k-алгебру с делением (т.

Е. Тело над k). Б. Г. Была определена и изучалась в серии работ Р. Брауэра (R. Вrauer), Э. Нётер (Е. Noether), A. Алберта (A. Albert), X. Хассе (Н. Hasse) и др. Начиная с 20-х гг. 20 в. (см., напр., [6]). Наиболее законченные результаты, вплоть до полного вычисления Б. Г., были получены для числовых полей в связи с развитием полей классов теории. В терминах Б. Г. Формулируется общая форма закона взаимности. Б. Г. Равна 0 для любого сепарабельно замкнутого поля и любого конечного поля. Для поля действительных чисел Б. Г. Есть циклич. Группа 2-го порядка и ее ненулевой элемент - класс алгебры кватернионов. Если k - поле р-адических чисел или любое полное дискретно нормированное локально компактное поле, то его Б. Г. Изоморфна (здесь Q - аддитивная группа рациональных чисел, Z - аддитивная группа целых чисел).

Этот факт занимает важное место в локальной теории полей классов. Пусть k- поле алгебраич. Чисел конечной степени или поле алгебраич. Функций от одной переменной с конечным полем констант. Тогда имеет место точная последовательность групп. где n пробегает всевозможные нормирования поля k, -соответствующие пополнения поля k, гомоморфизм inv индуцируется естественными вложениями Образ элемента из в наз. Локальным инвариантом, гомоморфизм е является суммированием локальных инвариантов. Этот факт устанавливается в глобальной теории полей классов. Если fe- поле алгебраич. Функций от одной переменной над алгебраически замкнутым полем констант, то его Б. Г. Нулевая (теорема Тзена). Случай произвольного поля констант разобран в [4] и [7].

Б. Г. Функториально зависит от fe, т. Е. Если К - расширение поля fe, то определен гомоморфизм Вr . Его ядро, обозначаемое , состоит из классов алгебр, распадающихся над К. Конструкции скрещенных произведений с помощью систем факторов (см. [5]) приводят к когомологич. Интерпретации Б. Г. Для любого нормального расширения K/k имеет место изоморфизм где - группа двумерных когомологий Галуа с коэффициентами в мультипликативной группе поля К. Более того, группа изоморфна , где - сепарабельное замыкание поля k. Сопоставление центральной простой алгебре ее класса в Б. Г. Осуществляется при помощи кограничного, оператора в когомологич. Последовательности, соответствующей точной последовательности групп где и - линейная и проективная группы матриц порядка .

Здесь группа интерпретируется как множество классов с точностью до k-изоморфизма центральных простых алгебр ранга над полем k, распадающихся над k, или как множество классов k-изоморфных Брауэра - Севери многообразий размерности , имеющих К- точку. Б. Г. Всегда является периодической группой. Порядок любого ее элемента делит число , где - ранг тела, представляющего этот элемент. Когомологич. Интерпретация Б. Г. Позволяет рассматривать ее как группу классов центральных расширений группы Галуа сепарабельного замыкания при помощи группы . Обобщением понятия Б. Г. Является группа. Брауэра- Гротендика, определяемая аналогично Б. Г. С заменой центральных простых алгебр на алгебры Адзумая (см. [7]). Лит.:[1]Алгебраическая теория чисел, пер.

С англ., М., 1960. [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. С франц., М., 1966. [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. С франц., М., 1968. [4] Фаддеев Д. К., "Вестник Ленингр. Ун-та", 1957, № 7, в. 2, с. 45-51. [5] Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М.- Л., 1949. [6] Dеuring М., "Algebren", 2 Aufl., В., 1968, Bd 4. [7] Grothеndieсk A., в кн. Dix exposes sur la cohomdlogie des schemax, Amst., 1968, p. 46-188. В. А. Псковских.