Карлемана Теорема

- 1) К. Т. О квазианалитических классах функций - необходимое и достаточное условие квазианалитичности в смысле Адамара. Найденное Т. Карлеманом [1] (см. Также [5]). Класс K действительных функций f(x), бесконечно дифференцируемых на отрезке [ а, b], наз. Кваз и аналитическим в смысле Адамара, если из равенств fn (с) = 0, п=0,1,. ., в какой-либо точке с, а<с<b, следует, что f(x)=0. Формулировка теоремы. Класс Кквазианалитическии тогда и только тогда, когда где А(f) - константа, а последовательность {an} удовлетворяет одному из равносильных условий. где В теории квазианалитич. Классов функций это - один из первых законченных результатов. Квазианалитич. Классы, определяемые условиями (1), (2), часто наз. Классами Карлемана.

2) К. Т. Об условиях определенности проблемы моментов. Если последовательность положительных чисел sn, n=0, 1,. .., удовлетворяет условию то проблема моментов является определенной. Это означает, что существует неубывающая функция s(t),для к-рой выполняются равенства (3), единственная с точностью до прибавления любой функции, постоянной в окрестности каждой точки ее непрерывности. Теорема установлена Т. Карлеманом (см. [1], [2]). 3) К. Т. О равномерном приближении целыми функциями. Если f(х) - любая непрерывная функция на действительной оси, а e(r), - положительная непрерывная функция, сколь угодно быстро убывающая при то существует целая функция g(z) комплексного переменного z=x+iy такая, что Эта теорема, установленная Т.

Карлеманом [3], явилась исходным пунктом исследований по приближениям целыми функциями. В частности, континуум Ена плоскости z наз. Континуумом Карлемана, если для любой непрерывной на Екомплексной функции f(z)и произвольно быстро убывающей при r стремящимся к беск. Положительной функции e(r), нижняя грань к-рой на любом конечном интервале положительна, существует целая функция g(z), удовлетворяющая неравенству Необходимые и достаточные условия, при к-рых замкнутое множество Еявляется континуумом Карлемана, получены в теореме Келдыша-Лаврентьева (см. [6]). Напр., континуумом Карлемана является замкнутое множество, составленное из лучей вида 4) К. Т. О приближении аналитических функций полиномами в среднем по площади области.

Пусть D- конечная область на плоскости комплексного переменного z= x+iy, ограниченная жордановой кривой Г, и пусть f(z) - регулярная аналитич. Функция в Dтакая, что тогда для любого числа e>0 найдется такой полином Р(z), что Этот результат установлен Т. Карлеманом [4]. Аналогичное утверждение верно и для случая приближения с любым положительным непрерывным весом, причем граница Г может быть и более общей природы. Система степеней {zn},n=0, 1,..., полна относительно любого такого веса. Ортогонализация и нормирование этой системы дает полиномы Pn(z)степеней и, часто наз. Полиномами Карлемана. Лит.:[1] Carleman Т., Les fonctions quasi-analytiques, P., 1926. [2] его же, Sur les equations integrates singulieres anoyau reel et symetrique, Uppsala, 1923.

[3] eго же, "Arkiv mat., astron., fys.", 1927, Bd 20, №. [4] его же, там же, 1922, Bd 17, Ml 9. [5] Mандельбройт С, Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения, пер. С франц., М., 1955. [6] Мергелян С. Н., "Успехи матем. Наук", 1952, т. 7, в. 2, с. 31 -122. Е. Д. Соло.