Квадрика

- 1) К.- поверхность 2-го порядка. В трехмерном пространстве (проективном, аффинном или евклидовом) К. Есть множество точек, однородные координаты х 0, х 1, х 2, х 3 к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют однородному уравнению 2-й степени. Билинейная симметричная форма наз. Полярной формой относительно F(x). Две точки М'( х'0, х'1, х'2, х'3), М"( х"0, х"1, х"2, х"3), для которых Ф ( х', х") =0, наз. Полярно сопряженными точками относительно К. Если прямая ( М', М" )пересекает К. В точках N1, N2 и точки М', М" полярно сопряжены относительно К., то точки N1, N2 и М', М" образуют гармоническую четверку. Точки К. И только они являются самосопряженными. Прямая, каждая точка к-рой принадлежит К., наз.

Прямолинейной образующей К. Полюсом данной плоскости относительно К. Наз. Точка, полярно сопряженная со всеми точками этой плоскости. Множество точек пространства, полярно сопряженных с данной точкой М' относительно К., наз. Полярой точки М' относительно К. Касательная плоскость к К.- поляра точки касания. Поляра точки М' определяется линейным уравнением Ф ( х, х') =0относительно координат х 0, х 1, х 2, х 3. Если то поляра точки М'- плоскость. Если то поляра точки М'- все пространство. В этом случае точка М' принадлежит К. И наз. Ее особой точкой. Если число R = rang(aij) = 4, то К. Не имеет особых точек и наз. Невырождающейся К. В проективном пространстве это - мнимый овалоид, действительный овалоид или линейчатая К.

Невырождающаяся К. Определяет корреляцию - биективное отображение множества точек проективного пространства на множество плоскостей. Линейчатая невырождающаяся К. Имеет два различных семейства прямолинейных образующих, расположенных на К. Так, что всякие две прямые одного семейства не пересекаются, а две прямые разных семейств пересекаются в одной точке. Если R=3, то К. Является конусом (действительным или мнимым) с вершиной в единственной особой точке. Действительный конус имеет единственное семейство прямолинейных образующих, проходящих через его вершину. Если R=2, то К. Распадается на пару плоскостей (действительных или мнимых), пересекающихся по прямой, состоящей из особых точек. Если R=1, то К. Является сдвоенной действительной плоскостью, образованной особыми точками К.

Аффинные свойства К. Выделяются спецификой расположения К., ассоциированных с ней точек, прямых и плоскостей относительно выделенной плоскости x0=0 - несобственной плоскости. Напр., эллипсоид (гиперболоид, параболоид) - невырожденная К., не пересекающая (пересекающая, касающаяся) несобственную плоскость. Центр К.- полюс несобственной плоскости. Диаметр - прямая, полярно сопряженная несобственной прямой. Лит.:[1] Фиников С. П., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1952. [2] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960. В. С. Малаховский. 2) К. В алгебраической геометрии - проективное алгебраическое многообразие, определяемое однородным квадратным уравнением в проективном пространстве Р п над основным полем k.

Пусть далее основное поле алгебраически замкнуто с характеристикой, не равной 2. Пусть Q- К. В Р п и s(Q)- множество ее особых точек. Тогда s(Q)- пустое множество, если и только если rk(Q)=n+l, где rk(Q)- ранг соответствующей квадратичной формы. Если s{Q )не пусто, то Q- конус над гладкой К. Размерности rk(Q)-1, вершиной к-рого является проективное подпространство s(Q)в Р п размерности п-rk(Q). Все К. С rk(Q)=r проективно эквиваленты К. Пусть s (Q)пусто и - линейное подпространство максимальной размерности (оно наз. Образующей квадрики Q), тогда а) если dim Q=2m, то dim E=m. б) если dim Q=2m+1, то dim E=m. Кроме того, семейство всех подпространств Емаксимальной размерности на Qявляется замкнутым неособым подмножеством Gграссманова многообразия подпространств размерности dim Eв Р п, причем, если dim Q-2m, то Gi, i=i,2,- непересекающиеся неособые неприводимые рациональные многообразия одинаковой размерности (2m+1), a Eи Е' принадлежат одной и той же компоненте, если и только если Если же dim Q=2m+l, то Gявляется неособым и неприводимым рациональным многообразием размерности (2m+2)- В случае, когда s(Q)пусто и dim Q=2, если же то Любая К.

Рациональна. Бирациональный изоморфизм К. Qс проективным пространством задается стереографич. Проекцией К. Qиз нек-рой точки Многообразия, являющиеся полными пересечениями К., изучаются с точки зрения бирациональной геометрии [3]. Пересечения двух К. Изучены в [2], трех - в [4]. Любое проективное многообразие Xможет быть так погружено в проективное пространство PN (для достаточно большого N), что его образ является пересечением (как правило, неполным) К., его содержащих [1]. Изучение К. Над незамкнутыми полями тесно связано с арифметикой квадратичных форм. Лит.:[1] Mumlord D., С. I. M. E. III ciclo. Varenna, 1969, Roma, 1970, p. 29-100. [2] Reid M., The complete intersection of two or more quadrics, These D. Ph. Cambridge Univ., 1972.

[3] Roth L., Algebraic threefols (with special regard to problems of rationality), B.-Hdlb.-N.Y., 1955. [4] Тюрин А. Н., "Успехи матем. Наук", 1975, т. 30, № 6, с. 51-99. В. А. Искоеских..