Квазианалитическии Класс

функций - класс функций, характеризуемый свойством единственности. Если две функции класса совпадают "в малом", то они тождественны. Простейшим К. К. Является класс функций, аналитических на отрезке [ а, b]действительной оси (функция этого класса представляется в достаточно малой окрестности каждой точки отрезка рядом Тейлора). Если две аналитические на [ а, b]функции равны на интервале то они тождественны [совпадение "в малом" здесь означает равенство функций на внутреннем интервале (a, b]. Совпадение "в малом" для аналитич. Функций может означать и равенство функций вместе со всеми производными в нек-рой точке х 0, Из совпадения "в малом" в этом новом смысле также следует тождественность функций на всем отрезке.

Э. Борель (Е. Borel) обнаружил, что свойство единственности может иметь место не только для аналитич. Функций. В связи с этим Ж. Адамар (J. Hadamard, 1912) поставил следующую проблему. Пусть {М п}- последовательность положительных чисел и [ а, b]- некоторый отрезок действительной оси. Пусть С{М п}- множество бесконечно дифференцируемых на [ а, b] функций j(x)таких, что где K=K(i)- постоянная, не зависящая от п. При этом функция f(x)является аналитической на [ а, b]тогда и только тогда, когда при некотором K=K(f) Таким образом, класс аналитических на [ а, b]функций есть класс С{п!}. Проблема Адамара состоит в указании условий на числа М п таких, чтобы всякая функция из класса С{М п}, обращающаяся в нуль вместе со всеми своими производными в нек-рой точке a0,была тождественно равна нулю (или, что то же, чтобы две функции из С{М п}, равные вместе со всеми производными в точке a0, были всюду равны).

Класс С{М п} с таким свойством наз. Квазианалитическим. На [а, b]. Класс С{п!}, согласно сказанному выше,- квазианалитический на [ а, b]. А. Данжуа (A. Denjoy, 1921) привел достаточные условия квазианалитичности. Он указал, что если М п = п!(ln n)n, Mn = n!(ln n)n (ln ln n)n, ..., то С{М п}- квазианалитический (эти классы, в силу (1), шире класса аналитич. Функций). Т. Карлеман (Т. Carleman) полностью решил проблему Адамара, дав необходимые и достаточные условия квазианалитичности. Эти условия в дальнейшем видоизменялись. Теорема Данжуа,- Карлемана о квазианалитичности формулируется так. Каждое из следующих условий является необходимым и достаточным для квазианалитичности класса С{М п}. а) если положить то б) если положить то в) либо либо и где {М' п}- выпуклая регуляризация посредством логарифмов последовательности {М п}.[Условие а) наз.

Условием Карлеман а, б) - условием Островского, в) - условием Банга - Мандельбройта]. В случае имеем bn=n/е, выполняется условие а), и снова получаем, что С{п!}- квазианалитич. Класс. В случае М n=n!(ln n)n имеем выполняется условие а) и потому класс Данжуа С{n!(ln n)n} - квазианалитический. В случае М п=n!(ln1+e n)n, e>0, имеем вследствие чего С{М п)- не К. К. С. Н. Бернштейн ввел другие К. К. Функций. Он показал, что функция f(x)является аналитической на отрезке [ а, b]тогда и только тогда, когда где M=M(f)и r=r(f) не зависят от n, a En(f)- наилучшее приближение функции f(x)на [a, b]многочленами степени п. Имея это ввиду, он рассмотрел класс функций f(x)на [ а, b], удовлетворяющих условию где n1, п 2, .

- некоторая бесконечная возрастающая последовательность целых чисел, и доказал, что если на нек-ром интервале функция этого класса равна нулю, то она тождественно равна нулю. Класс функций С, заданных на [ а, b], наз. Квазианалитическим (по Бернштейну), если две функции этого класса, совпадающие в нек-рой части необходимо совпадают на всем отрезке [а, b]. Класс (2) - квазианалитический в этом смысле. Следует заметить, что из условия (2) не вытекает, что f(x).- бесконечно дифференцируемая функция (имеются соответствующие примеры). Изучаются и другие проблемы квазианалитичности. Напр., решается вопрос о скорости убывания коэффициентов а п и b п в ряде при к-рой класс таких функций квазианалитический.

Находятся условия на числа М п такие, чтобы функции f(z), аналитические в круге |z|<1, бесконечно дифференцируемые в замкнутом круге и удовлетворяющие условиям образовывали К. К., и т. Д. Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. Соч., т. 2, М., 1954. [2] Мандельбройт С, Квазианалитические классы функций, пер. С франц., Л.- М., 1937. [3] его же, Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. С франц., М., 1955. А. Ф. Леонтьев..