Квазигиперболическое Пространство

- проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется абсолютом, заданным совокупностью абсолютного конуса Q0 индекса kс (n- т--1)-вершиной (абсолютная плоскость Т а )и (n-m-2)-квадрикой (абсолютная квадрика Q1) индекса lна этой (n-m-1)-плоскости. Определяемое таким образом пространство наз. Кваз и гиперболическим пространством индексов kи l, обозначается символом где m<n. К. П. Является частным случаем полугиперболических пространств. К. П. получается предельным переходом из гиперболич. Пространства lSn таким образом, что при этом абсолют гиперболич. Пространства переходит в абсолют К. П. При т=0 конус Q0 является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т 0, а абсолют пространства совпадает с абсолютом псевдоевклидова пространства При т=1 конус Q0 является парой действительных плоскостей.

В частности, для плоскость Т 0 является прямой пересечения этих двух плоскостей, а квадрика Q1- парой точек на прямой Т 0. В случае m=n-1 конус Q0 имеет точечную вершину, и абсолют пространства совпадает с абсолютом копсевдоев клидова пространства К. П. Являются пространствами более общего проективного типа по отношению к копсевдоевклидовым пространствам. Проективная метрика К. П.определяется таким образом, чтобы при то=0 получалась метрика псевдоевклидова пространства а при т=п-1 - метрика копсевдоевклидова пространства В К. П. Различают прямые четырех типов. Эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках. Гиперболические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух действительных точках.

Параболические прямые, проходящие через вершину абсолютного конуса. Изотропные прямые, проходящие через вершину абсолютного конуса и касающиеся его. Расстояние d между двумя точками Xи Yопределяется в случае, когда прямая XY не пересекается с (п-т-1)-плоскостью Т 0, с помощью соотношения где Е о- линейный оператор, определяющий скалярное произведение в псевдоевклидовом (m+1)-пространстве , y0= ( у ь,)- векторы точек Xи У, р - действительное число. Расстояние между двумя точками, не лежащими на параболич. Прямой, равно расстоянию между проекциями этих точек на m-плоскость x1=0 в направлении ( п- т-1)-плоскости Т 0. В случае, когда прямая XY пересекает (n-m-1)-плоскость Т а, то расстояние dвычисляется с помощью разности а= у1-x1, где x1=( х и, u>m), y1={yu,u>m)- векторы точек Xи Y в псевдоевклидовом пространстве Rn-m.

D(XY)=aE1a, здесь E1 - линейный оператор, определяющий скалярное произведение в этом пространстве. За угол между двумя плоскостями пространства принимается (нормированное) расстояние между двумя соответствующими точками в двойственном ему пространстве по принципу двойственности проективного re-пространства. Координаты этих точек численно равны проективным координатам данных плоскостей. В случае, когда (п-2)-плоскость пересечения двух данных плоскостей пересекается с (п-m-1)-плоскостью Т 0, этот угол всегда равен нулю, но тогда применяется способ измерения, аналогичный измерению расстояний в подобном случае. В частности, при n= 2 углы между 1-плоскостями являются углами между прямыми и, в зависимости от расположения 2-плоскости относительно плоскости Т 0, на этой плоскости возможны три типа геометрий - евклидова, псевдоевклидова или копсевдоевклидова.

Движениями К. П. Являются коллинеации, сохраняющие расстояние между точками и переводящие абсолютный конус Q0,(n- m- 1)-вершину Т 0 и (n-m-2)-квадрику Q1 в Т 0 в себя. Движения описываются псевдоортогональными операторами индекса 2. В К. П. Двойственном самому себе, определяется кодвижение - корреляция, переводящая всякие две точки в две плоскости, угол между к-рыми пропорционален расстоянию между двумя данными точками, а всякие две плоскости - в две точки, расстояние между которыми пропорционально углу между плоскостями. Кодвижения описываются псевдоортогональными операторами индекса I. Движения образуют группу Ли, как и движения и кодвижения двойственного самому себе К. П. Квазигиперболическое 3-пространство с проективной Эллиптич.

Метрикой на прямых -- имеет коевклидову метрику на 2-плоскостях и псевдоевклидову метрику индекса 1 в связках плоскостей. Квазигиперболическое 3-пространство с гиперболической проективной метрикой расстояний может быть двух типов - и отличающихся метриками в связках плоскостей. В первом - евклидова, во втором - псевдоевклидова метрика индекса 1. Метрика на 2-плоскостях одна и та же - копсевдоевклидова индекса 1. Квазигиперболическое 3-пространство может быть интерпретировано как группа движений псевдоевклидовой 2-плоскости индекса 1. Многообразие гиперболич. Прямых указанного квазигиперболического 3-пространства допускает интерпретацию на паре таких псевдоевклидовых плоскостей. Пространства и 01S13, двойственные друг другу, допускают интерпретации на комплексной 2-плоскости.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. [2] Яглом И. М., Розенфельд Б. А., Ясинская Е. У., "Успехи матем. Наук", 1964, т. 19, в. 5, с. 51 - 113. Л. А. Сидоров..