Квазигруппа

- множество с одной бинарной операцией (наз. Обычно умножением), в к-ром каждое из уравнений ах=Ь и уа=Ь имеет единственное решение для любых элементов а, b этого множества. К. С единицей наз. лупой. К.- естественное обобщение понятия группы. К. Возникают в различных областях математики, напр, в теории проективных плоскостей, неассоциативных тел, в ряде вопросов комбинаторного анализа и т. П. Термин "К." введен Р. Муфанг (R. Moufang). С ее работ по недезарговым плоскостям (1935), в к-рых выяснялась связь таких плоскостей с К., собственно и началось развитие теории К. Основные понятия. Отображения Ra. Х ха и La. X ах наз. Правой и левой трансляциями (или сдвигами) относительно элемента а. В К. Трансляции являются подстановками множества ее элементов.

Подгруппа Gгруппы подстановок множества Q, порожденная всеми трансляциями К. Q(Х), наз. Группой, ассоциированной с квазигруппой Существует тесная связь между строением группы Gи К. Гомоморфный образ К., вообще говоря, не К., а группоид с делением. Гомоморфизмам К. На К. Соответствуют так наз. Нормальные конгруэнции (конгруэнция q на нормальна, если каждое из соотношений асqbс и caqcb влечет аqb). В группах все конгруэнции нормальны. Подквазигруппа Иназ. Нормальной, если существует такая нормальная конгруэнция q, что Нсовпадает с одним из классов конгруэнции. Существуют К., в к-рых два или даже все классы по конгруэнции q - подквазигруппы. С каждой квазигрупповой операцией на множестве связаны еще две операции, наз.

Левой и правой обратной операциями, обозначаемые и соответственно. Они определяются следующим образом. Z/y=x и если x-y=z. Рассматривая всевозможные перестановки трех элементов х, у,z, можно получить пять обратных операций, не считая исходной. Переход от основной операции к одной из них наз. Парастрофией. К., в к-рых все обратные операции совпадают с основной, наз. Тотально-симметрическим и, или TS-к вазигруппами. TS-квазигруппы можно определить также как К., удовлетворяющие тождествам. ху=ух и х( ху) = у. Идемпотентные TS-квазигруппы (т. Е. С дополнительным тождеством х 2=х )наз. Квазигруппами Штейнера. Они тесно связаны с системами троек Штейнера (см. Штейнера система). Одним из самых важных понятий в теории К. Является понятие изотопии.

Изотопия может быть определена и для К., заданных на разных (но равномощных) множествах. Число неизотопных К., к-рые могут быть заданы на конечном множестве мощности п, известно (1978) только для Основные классы квазигрупп. Самые первые работы по К. Относятся к таким обобщениям групп, в к-рых требование ассоциативности заменяется более слабыми условиями, теперь называемыми постулатами "А" и "Б" Сушкевича. К. Удовлетворяет постулату Сушкевича "А", если решение хуравнения ( аb) с=а(bх )зависит только от bи с, и постулату "Б", если это решение зависит только от с. Доказано, что К. Этих классов изотопны группам. В случае, когда решение такого уравнения зависит от а и с, К. Наз. Левой F-к вази-группой. Аналогично, при помощи уравнения ( аЪ) с=х( Ъс )определяется правая F-к вазигруппа.

К., являющаяся левой и правой F-квазигруппой одновременно, наз. F-к вазигруппой. Существуют F-квазигруппы, не изотопные группам. Идемпотентная F-квазигруппа наз. Дистрибутивной квазигруппой и может быть определена тождествами. (yz)x-(yx)(zx), x(yz) =(xy)(xz), наз. Тождествами дистрибутивности. Доказано, что дистрибутивные К. Изотопны лупам Муфанг (см. Лупа). К.медиальна, если выполняется тождество Всякая медиальная К. Изотопна абелевой группе Q(+) и изотопия имеет вид где j, y - коммутирующие автоморфизмы группы, а с- некоторый элемент Q(теорема Тоёды). Системы квазигрупп и функциональные уравнения. Пусть на множестве Qзадана нек-рая система К. В этом случае операции удобнее обозначать буквами. Вместо ab=c писать, напр., ( а,b) = с.

Квазигрупповые операции на Qпредполагаются связанными между собой нек-рым образом, чаще всего какими-либо тождествами, называемыми в этом случае "функциональными уравнениями". Обычно решается задача нахождения системы К. На Qпо заданным функциональным уравнениям. Напр., решено уравнение общей ассоциативности. а именно, доказано, что если четыре К. Удовлетворяют (1), то они изотопны одной группе Q(-), а общее решение дается равенствами. где a, b, j, y, q - любые подстановки множества Q. Очень похоже решается уравнение общей медиальности. Все шесть К. Здесь оказываются изотопными одной абелевой группе. N-арные квазигруппы. Множество с одной n-арной операцией наз. N-квазигруппой, если каждое из уравнений (где b, а 1, а2, .

, а пQ, i=1, 2, . , п)имеет единственное решение. На n-квазигруппы переносятся основные понятия теории К. (изотопия, парастрофия и т. Д.). Каждая re-квазигруппа изотопна нек-рой re-лупе (см. Лупа). Некоторые классы обычных бинарных К. (такие как классы медиальных, TS-квазигрупп и др.) имеют аналог в re-арном случае. Операция Аарности n приводима, если существуют две такие операции Ви Сарности не меньше двух, что (сокращенная запись ). В противном случае А наз. Неприводимой. Для n-арных К. Верна теорема, аналогичная теореме о канонич. Разложении натурального числа на простые множители. // .