Квазидискретный Спектр

- термин эргодич. Теории и топологич. Динамики, употребляемый в оборотах. "динамическая система (поток, каскад или порождающее последний преобразование) имеет К. С. (или является системой, потоком и т. Д. С К. С.)". В эргодич. Теории понятие "преобразование с К. С." фактически рассматривается только применительно к эргодич. Автоморфизму Т Лебега пространства(X,m) (хотя приводимое ниже определение формально годится и в более общей ситуации). Для Тиндуктивно определяются квазисобственные функции (к. Ф.) и квазисобственные значения (к. З.) га-го порядка. К. Ф. 1-го порядка - это обычные собственные функции соответствующего оператора сдвига т. Е. Такие ненулевые fО L2(X,m), что f(Tx)=lf(x)(почти всюду. Ниже подобная оговорка опускается), где l- некоторая константа (собственное значение.

Оно является к. З. 1-го порядка). Если и f(Tx) =j(x)f(x), где ф - некоторая к. Ф. N-го порядка, то f наз. К. Ф. (n+1)-го порядка, а j - соответствующим к. З. (того же порядка). (В [2] вместо к. Ф. И к. З. Говорится об обобщенных собственных функциях иобобщенных собственных значениях.) Из эргодичности Тследует, что |f(х)| = const для любой к. Ф. F, а если f еще и к. З., то |f(x)| = 1. Поэтому часто в определение к. Ф. Включают условие нормировки |f (х)| = 1. Говорят, что Тимеет К. С, если к. Ф. Всевозможных порядков образуют полную систему в L2( Х,m). Законченные результаты относятся к тому случаю, когда в дополнение к сказанному Твполне эргодичен (т. Е. Все его степени эргодичны). Имеется полная метрическая классификация таких T и их свойства хорошо изучены [3].

Понятие К. С. И соответствующую теорию можно обобщить для локально компактных коммутативных групп преобразований пространств Лебега (в частности, для измеримых потоков)- см. Изложение результатов Т. Уитинга (Т. Wieting) в [4]. Хотя внешне термин "К. С." выглядит так, как если бы речь шла о нек-ром типе спектра динамич. Системы, на самом деле свойство каскада {ГЩ} иметь К. С. Не является спектральным, т. Е. Не может быть выражено в терминах спектральных свойств оператора сдвига UT. Даже если известно, что каскад имеет К. С, спектр еще не определяет однозначно его метрич. Свойства. К. С. Был введен именно в связи с первым примером метрически неизоморфных эргодич. Каскадов с одинаковым спектром ([1], см. Также [2]). В этом примере каскады имеют К.

С, но у одного из них имеются к. Ф. 3-го порядка, а у другого - нет. В топологич. Динамике понятие К. С. Вводится применительно к гомеоморфизму Ткомпакта X, предполагаемому вполне минимальным (т. Е. Каждая его степень минимальна). К. Ф. И к. З. Определяются аналогично предыдущему с заменой L2(X,m)на С(X)(непрерывные функции с комплексными значениями). Тимеет К. С, если к. Ф. Разделяют точки X. Топологич. Вариант теории во многом аналогичен метрическому (см. [5] -[7]). Однако при переходе в топологич. Теории от каскадов к потокам с К. С. Требуются существенно иные соображения и даже в нек-рой степени приходится выходить за рамки обычных понятий топологич. Динамики (оказывается целесообразным рассматривать потоки {Tt}с разрывной зависимостью гомеоморфизмов Tt от t)(см.

[8], [9]). Лит.:[1] Наlmоs P. R., Neumann J., "Ann. Math.", 1942, v. 43, № 2, p. 332-50. [2] Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, М., 1959. [3] Абрамов Л. М., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1962, т. 26, № 4, с. 513- 30. [4] Zimmer R. J., "III. J. Math.", 1976, v. 20, № 4, p. 555-88. [5] Hahn F., Parry W., "J. London Math. Soc", 1965. V. 40, №2, p. 309-23. [6] их же, "Math, systems theory", 1968, v. 2, № 2, p. 179-90. [7] Brown J. R., Ergodic theory and topological dynamics, N.Y.-S.F.-L., 1976. [8] Hahn F., "Israel J. Math.", 1973, v. 16, № 1, p. 20-37. [9] Parry W., там же, p. 38-45. Д. В. Аносов..