Конические Сечения

-линии, к-рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. С. Могут быть трех типов. 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс;окружность как частный случай эллипса получается, когда секущаяплоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной нз касательных плоскостей конуса (рис., б). В сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной плоскости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в);линия пересечения - гипербола- состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.

С точки зрения аналитич. Еометрии К. С.- действительные нераспадающиеся линии второго порядка. В тех случаях, когда К. С. Имеет центр симметрии (центр), т. Е. Является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путем перенесения начала координат в центр) к виду. Дальнейшие исследования таких (наз. Центральными) К. С. Показывают, что их уравнения могут быть приведены к еще более простому виду. если за направления осей координат выбрать так наз. Главные направления - направления главных осей (осей симметрии) К. С. Если Аи Вимеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (*) определяет эллипс. Если А и B разного знака, то - гиперболу. Уравнение параболы привести к виду (*) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к нон прямая, проходящая через вершину параболы) ее уравнение можно привести к виду.

К. С. Были известны уже математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были "Конические сечения" Аполлония Пергского (ок. 200 до н. Э.). Дальнейшие успехи теории К. С. Связаны с созданием в 17 в. Новых геометрия. Методов. Проективного [Ж. Дезарг (G. Desargues), Б. Паскаль (В. Pascal)] и в особенности координатного [Р. Декарт (R. Descartes), П. Ферма (P. Format)]. При надлежащем выборе системы координат (ось абсцисс - ось симметрии К. С, ось ординат - касательная в вершине К. С.) уравнение К. С. Может быть приведено к виду. (р и X- постоянные). Если р неравно 0, то оно определяет параболу при k=0, эллипс при l<0, гиперболу при l>0. Геометрич. Свойство К. С, содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреч.

Геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. С. Названия, сохранившиеся до сих пор. Слово "парабола" (греч. Parabole) оаначает приложение (т. К. В греч. Геометрии превращение прямоугольника данной площади у 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р наз. Приложением данного прямоугольника к этому основанию). Слово "эллипс" (греч. Clleipsis) - недостаток (приложение с недостатком). Слово "гипербола" (греч. Hyperbole) - избыток (приложение с избытком). С переходом к современным методам исследования стереометрич. Определение К. С. Было заменено планиметрич. Определениями этих кривых как множеств точек на плоскости. Так, напр., эллипс определяется как множество точек, для к-рых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.

Можно дать другое планиметрич. Определение К. С, охватывающее все три типа этих кривых. К. С.- множество точек, для каждой из к-рых отношение ее расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) е. Если при этом е<1, то К. С.- эллипс. Если е>1, то - гипербола. Если е=1, то - парабола. Лит.:[1] Александров П. С, Лекции по аналитической геометрии, М., 1968. [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. С голл., М., 1959. В. И. Битюцков..