Кратность Веса

М представления р алгебры Ли t в векторном пространстве V - размерность nM весового подпространства соответствующего весу М (см. Вес представления). Пусть t - Картана подалгебра полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, а - ограничение на t конечномерного представления алгебры . В этом случае пространство Vявляется прямой суммой весовых подпространств алгебры t, соответствующих различным весам. Эти веса и их кратности часто наз. Весами и кратностями весов представления алгебры . Пусть представление неприводимо и - его старший вес (см. Картана теорема о старшем векторе). Тогда Для весов, отличных от старшего, известно несколько способов вычисления их кратностей.

Два из них являются классическими результатами теории представлений - формула Фрейденталя и формула. Костанта. 1. Формула Фрейденталя (см. [4], [1]). Пусть ( , ) - естественное скалярное произведение на сопряженном к пространстве индуцированное Киллинга формой на - система корней алгебры относительно t и >. - отношение частичного порядка на определенное какой-либо фиксированной системой простых корней Тогда где и, по определению, если N не вес представления Для любого веса множитель при в левой части формулы отличен от нуля. Эта формула имеет рекуррентный характер. Она позволяет выразить через если N>М. Поскольку известно, что формула Фрейденталя дает эффективный способ нахождения кратностей 2.

Формула Костанта (см. [5], [1]). Пусть Множество Г является подгруппой по сложению в инвариантной относительно группы Вейля W, к-рая действует в естественным образом. Элемент а также все веса представления s лежат в Г. Пусть для каждого число Р(М) равно количеству способов записи М в виде суммы положительных корней, т. Е. Р(М) - это число решений уравнения где при всех а. Функция Р(М) на Г наз. Функцией разбиения. Тогда Практическое использование приведенных выше формул связано с громоздкими вычислениями. Для полупростых алгебр ранга 2 имеются более удобные геометрические правила подсчета К. В. (см. [2]). Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. С англ., М., 1964. [2] Ж е л о б е н к о Д. П., Лекции по теории групп Ли, Дубна, 1965.

[3] е г о же, Компактные группы Ли и их представления, М., 1970. [4] Freudenthal Н., "Indag. Math.", 1954, v. 16, p. 369-76, 487-91. 1956, v. 18, p. 511-14. I5] Кostant В., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1959, v. 93, p. 53-73. В. Л. Попов.