Кремоново Преобразование

бирациональное преобразование проективного пространства над полем k. Бирациональные преобразования плоскости и трехмерного пространства систематически изучал (начиная с 1863) Л. Кремона (L. Cremona). Группа К. П также называется его именем - группа Кремоны и обозначается Простейшими примерами К. П., отличными от проективных преобразований, являются квадратичные бирациональные преобразования плоскости. В неоднородных координатах (x, у).их можно записать в виде дробно-линейных преобразований Среди них выделяется так наз. Стандартное квадратичное преобразование t. или в однородных координатах Оно является изоморфизмом вне координатных осей. имеет три фундаментальные точки (точки неопределенности) (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) и отображает в каждую из этих точек координатную ось, не содержащую эту точку.

По теореме Нётера (см. Кремоны группа).над алгебраически замкнутым полем kкаждое К. П. Плоскости может быть представлено в виде композиции квадратичных преобразований. В теории К. П. Плоскости важную роль играют нек-рые специальные классы преобразований, в частности инволюции Гейзера и инволюции Бертини (см. [1]). Инволюция Гейзера определяется с помощью линейной системы кривых степени 8 на проходящих с кратностью 3 через 7 точек в общем положении. Инволюция Бертини b. определяется с помощью линейной системы кривых степени 17 на проходящих с кратностью 6 через 8 точек в общем положении. К. П. Вида лаз. Преобразованиями Жонкьера. Наиболее естественно они интерпретируются как бира-зщональные преобразования квадрики сохраняющие проекцию на один из множителей.

Теорема Нётера допускает при этом следующую переформулировку. Группа бирациональных автоморфизмов квадрики порождена инволюцией s и преобразованиями Жонкьера, где - автоморфизм перестановки множителей. Всякий бирегулярный автоморфизм аффинного пространства продолжается до К. П. Пространства так что В случае n=2 группа порождена подгруппой аффинных преобразований и подгруппой преобразований вида более того, она является амальгамированным произведением этих подгрупп [5]. Как устроены группы . При ' неизвестно. Вообще, о К. П. В размерности не получено к настоящему времени (1982) сколь .либо существенных результатов. Лит.:[1] Hudson Н., Cremona transformations in plane and space, Camb., 1927. [2] G о d e a u x L., Les transformations birationnelles du plan, P., 1927.

[3] С о b 1 e A., Algebraic geometry and theta functions, N. Y., 1929. [4] H а г а т а М., "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 75-94. [5] Ш а ф a p e в и ч И. Р., "Rend, math.", 1966, v. 25, p. 208-12. В. А. Псковских.