Кремоны Группа

- группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства над полем k, или, что то же, группа кремоновых преобразований пространства Группа естественным образом содержит в качестве подгруппы группу проективных преобразований пространства причем при эти группы не совпадают. Группа будет изоморфна группе автоморфизмов над kполя рациональных функций от ппеременных над k. Основным результатом о К. Г. Проективной плоскости является теорема Нётера. Группа над алгебраически замкнутым полем порождается квадратичными преобразованиями или, что эквивалентно, стандартным квадратичным преобразованием и проективными преобразованиями (см. [1], [7]). Неизвестно (1982), является ли эта группа простой. Существует обобщение теоремы Нётера на случай, когда основное поле kне является алгебраически замкнутым (см.

[5]). Одна из труднейших проблем бирациональной геометрии - проблема описания строения группы к-рая уже не порождается квадратичными преобразованиями. Почти во всех работах о кремоновых преобразованиях 3-мерного пространства изучаются лишь конкретные примеры таких преобразований. О строении К. Г. Пространства размерности выше 3 почти ничего не известно. Важное направление исследований К. Г. Связано с изучением подгрупп группы С точностью до сопряженности описаны конечные подгруппы в над алгебраически замкнутым полем k(см. [8], а также [6]). Классификация всех инволюций в получена еще в 1877 Э. Бертини (E. Bertini, см., напр., [4], [5]). Вопрос об описании всех инволюций в открыт. Все максимальные связные алгебраич.

Подгруппы в описаны Ф. Энрикесом (F. Enriques) в 1893 (см. [4]). Это в точности группы автоморфизмов всех минимальных моделей рациональных поверхностей, т. Е. Плоскости квадрики и серии линейчатых поверхностей Имеются нек-рые обобщения этого результата (см. [3], [9]) на случай группы Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. Ин-та АН СССР, т. 75). [2] С о b l e A., Algebraic geometry and theta functions, N. Y., 1929. [3] Demazure M., "Ann. Sci. EC. Norm. Sup.", ser. 4, 1970, t. 3, № 4, p. 507-88. [4] G o-d e a u x L., Les transformations birationnelles du plan, P., 1927. [5] Hudson H., Cremona transformations in plane and space, Camb., 1927. [6] М а н и н Ю. И., "Матем. Сб.", 1967, т. 72, №2, с. 161-92. [7] Нагата М., "Математика", 1964, т.

8, № 4, с. 75-94. [8] W i m a n A., "Math. Ann.", 1897, Bd 48, S. 195-240. [9] Umemura H., "Nagoya Math. J.", 1980, v. 79, p. 47-67. В. А. Псковских.