Кристоффеля - Шварца Формула

-формула дающая интегральное представление функции f(z), конформно отображающей верхнюю полуплоскость на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами и углами при вершинах <. При этом - некоторые постоянные, Постоянную z0 можно фиксировать произвольно в верхней полуплоскости. Тройку точек из напр, можно задавать произвольно. Остальные п-3 точки ak, а также постоянные с, c1 определяются однозначно, если вершины многоугольника заданы (см. [3]). Формула (*) была получена независимо Э. Кристоффелем (1867, см. [1]) и Г. Шварцем (1869, см. [2]). Интеграл в правой части (*) наз. Интегралом Кристоффеля - Шварца. Основная трудность при применении формулы (*) состоит в нахождении неизвестных параметров.

При n>4 общие методы неизвестны. Разработаны методы приближенного отыскания параметров К.- Ш. Ф. (см. [4], [5]). К.- Ш. Ф. Остается справедливой и для многоугольников, у к-рых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке. В этом случае угол между сторонами многоугольника в бесконечности определяется как угол, взятый со знаком минус, между этими же сторонами или их продолжениями в конечной точке. Если прообраз а i одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удаленной точке, то соответствующий множитель в формуле (*) выпадает. К.- Ш. Ф. Справедлива также для функции, отображающей единичный круг на рассмотренный выше многоугольник. В этом случае Видоизменения этой формулы охватывают случаи отображения верхней полуплоскости, а также внутренности и внешности единичного круга на внешность многоугольника (см.

[3]). К.- Ш. Ф. Обобщена на случай, когда функция f(z) конформно отображает круговое кольцо или, в более общем случае, многосвязную область, состоящую из круга с выброшенными из него пкругами, на область соответствующей связности, ограниченную многоугольниками (см. [6], [7]). Лит.:[1] Christoffel E. В., "Ann. Math. Pura ed appl.", Ser. 2, 1868, t. 1, p. 89-103. 1871, t. 4, p. 1 - 9. [2] Schwarz H. A., Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd 1-2, В., 1890. [3] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного- переменного, 4 изд., М., 1973. [4] К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.- Л., 1962. [5] Коппенфельс В., Штальман Ф., Практика конформных отображений, пер.

С нем., М., 1963. [6] А х и е з е р Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970. [7] Максимов Ю. Д., "Докл. АН СССР", 1960, т. 136, № 2, с. 284-87. Ю. Д. Максимов.