Критическая Точка

- 1) К. Т. Порядка та - такая точка акомплексной плоскости, в к-рой аналитич. Функция f(z) регулярна, а ее производная f'(z) имеет нуль порядка m, где т - натуральное число. Иными словами, К. Т. Определяется условиями. Бесконечно удаленная К. Т. порядка тдля функции f(z), регулярной в бесконечности, определяется условиями. При аналитическом отображении w=f(z).угол между двумя кривыми, выходящими из К. Т. Порядка та, увеличивается в m+1 раз. Если функция f(z) рассматривается как комплексный потенциал нек-рого плоского течения несжимаемой жидкости, то К. Т. Характерна тем, что через нее проходит не одна, a m+1 линий тока, причем скорость течения в К. Т. Обращается в нуль. Для обратной функции такой, что К. Т. Аявляется алгебраич.

Точкой ветвления порядка m+1. 2) Точка акомплексного ( п- го)-мерного неприводимого аналитического множества заданного в окрестности Vточки акомплексного пространства С". Условиями где - голоморфные на Vфункции n комплексных переменных, наз. К. Т., если ранг матрицы Якоби . , т. K=1, . , n, меньше числа т. Прочие точки Мназ. Правильными. К. Т. На Мсравнительно мало - они образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше п-т-1. В частности, при m=1, т. Е. Если } и размерность Мравна п-1, размерность множества К. Т. Но выше n-2. Лит.:[1] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. С нем., М., 1968. [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев. 3) К. Т. Г л а д к о г о (т.

Е. Непрерывно дифференцируемого) отображения f k-м е р н о г о дифференцируемого многообразия Мв l-м ерное дифференцируемое многообразие N - такая точка что ранг отображения f в этой точке (т. Е. Размерность образа касательного пространства к Мпод действием дифференциала ) меньше I. Совокупность всех К. Т. Наз. Критическим множеством, образ f(x0).К. Т. ЖД- к р и т и ч е с к и м з н а ч е н и е м, а точка не являющаяся образом никакой К. Т.,- регулярной т о ч к о й, или регулярным значением (хотя она может вообще не принадлежать образу f(M});некритические точки из Мтоже наз. Регулярными. Согласно теореме Сарда, если f имеет класс гладкости то образ критического множества имеет первую категорию в N(т. Е. Является объединением не более чем счетной системы нигде не плотных множеств) и имеет Z-мерную меру нуль (см.

[1], [2]). Условие на тне может быть ослаблено [3]. Чаще всего бывает нужен случай (при этом доказательство упрощается, см. [4]). Эта теорема широко используется для приведения в общее положение посредством "малых шевелений". Напр., с ее помощью легко доказать, что если в имеются два гладких подмногообразия, то сколь угодно малым сдвигом одного из них можно достичь, чтобы их пересечение тоже было подмногообразием (см. [2], [4], а также Трансверсальность отображений). Согласно приведенному определению, при k<l каждую точку надо считать критической. Но при этом существенно различаются свойства тех точек х 0, для к-рых и тех, для к-рых В первом случае в нек-рой окрестности точки хД отображение f выглядит приблизительно как стандартное вложение точнее, имеются такие локальные координаты вблизи х 0 (на М) и вблизи f (х 0) (на N), что в этих координатах f представляется в виде Во втором случае образ окрестности точки х п может не быть многообразием, а иметь различные особенности - заострения, самопересечения и т.

Д. Поэтому определение К. Т. Часто модифицируют, понимая под К. Т. Те точки х 0, для которых соответственно модифицируется и смысл других приведенных выше терминов [5]. Поведение отображений в окрестности К. Т. Изучается в теории особенностей дифференцируемых отображений (см. [5], [6]). При этом рассматриваются не произвольные К. Т. (о к-рых мало что можно сказать), а К. Т., удовлетворяющие условиям "не слишком сильной вырожденности" и "типичности". Так, рассматриваются К. Т. Достаточно гладких отображений или семейств отображений (достаточно гладко зависящих от конечного числа параметров), являющиеся "неустранимыми" в том смысле, что при малом (в смысле С т с подходящим то) возмущении исходного отображения или семейства у возмущенного отображения (семейства) в нек-рой окрестности исходной К.

Т. Имеется К. Т. Того же типа. Для отображения (т. Е. Обычной скалярной функции. В этом случае К. Т. Часто наз. Стационарными точками) типичными в указанном смысле являются так наз. Невырожденные К. Т., в к-рых гессиан -, невырожденная квадратичная форма. О типичных К. Т. Для семейства функций см. [6], [7]. Лит.:[1] Sard A., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1942, v. 48, p. 883-90. L2] С т е р и б е р г С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. С англ., М., 1970. [3] W h i t n e у Н., "Duke Math. J.", 1935, v. 1, №4, p. 514-17. [4] M и л н о р Д ж., Топология с дифференциальной точни зрения, в кн. М и л н о р Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. С англ., М., 1972. [5] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер.

С англ., М., 1977. [В] Б р ё к е р Т., Л а н д е р Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. С англ., М., 1977. [7] Арнольд В. И., "Функцией, анализ и его прилож.", 1972, т. Б, № 4, с. 3-25. Д. В. Аносов.