Кронекера Метод

- метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел. Предложен в 1882 Л. Кронекером [1], Пусть d - общий знаменатель всех коэффициентов многочлена Тогда - многочлен с целыми коэффициентами. Причем из любого разложения на неприводимые множители с рациональными коэффициентами можно получить разложение f(x).на неприводимые множители с целыми коэффициентами, множители к-рого отличаются от соответствующих множителей лишь постоянными множителями, и обратно. Пусть f(x).имеет степень n>0 и k - наибольшее натуральное число, для к-рого Если X X - разложение f(x).на множители с целыми коэффициентами, где степень g(x). Не больше степени h(x), то степень g(x).не превосходит k.

Давая хлюбые k+1 различных целых значений получают равенства где g(ci).и h(ci) - целые числа. Таким образом, g(ci).делит f(ci). Беря произвольные делители di чисел f(ci), получают Из этих равенств многочлен g(x).находится по интерполяционной формуле Лагранжа или проще - из уравнений для коэффициентов. Найденный многочлен g(x).надо испытать, проверив, делит ли он f(x). Это построение многочлена и проверка проводятся для всевозможных наборов делителей чисел f(ci). Далее этот же процесс применяется к g(x).и h(x).и т. Д., пока не приходят к неразложимым множителям. К. М. Приводит к громоздким вычислениям. Для упрощения можно сначала понизить степень f(x), выделив его рациональные корни (см. [3] с. 355). Пример.

(это многочлен с целыми коэффициентами и без рациональных корней). Если где степень kмногочлена g(x).не больше степени h(х), то т. Е. K=2. Пусть Тогда f(0)=1. F(1)= -5. F(2)=-21. Делители этих чисел. Всего получается комбинации. Две комбинации di, отличающиеся лишь знаком, дают два многочлена Поэтому можно проверять лишь . Остаются 32 случая. Перебирая все эти случаи, можно найти лишь один многочлен 2-й степени, делящий f(x). Это Откуда Оба сомножителя этого разложения неприводимы (как многочлены 2-й и 3-й степеней, не имеющие рациональных корней). Лит.:[1] Kronecker L., "J. Reine und angew. Math.", 1882, Bd 92, S. 1 - 122. [2] О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, М., 1937. [3] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

И. В. Проскуряков.