Лиувилля Теорема

- 1) Л. Т. Об ограниченных целых аналитических функциях. Если целая функция f(z) комплексных переменных z=(z1 . ., zn) ограничена, т. Е. то f(z) есть константа. Это предложение, одно из основных в теории аналитич. Функций, впервые, по-видимому, опубликовано в 1844 О. Коши [1] для случая n=1. Ж. Лиувилль (J. Liouville) излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название. Л. Т. Допускает обобщения в различных направлениях. Напр., если f(z) - целая функция в и для нек-рого целого то f(z) есть многочлен по переменным (z1 . ., zn) степени не выше те. Далее, если и(х) - действительная гармонич. Функция во всем числовом пространстве причем то и(х). Есть гармонич. Многочлен по переменным (x1 . ., xn) степени не выше т(см. Также [4]).

2) Л. Т. О конформных отображениях. Всякое конформное отображение области евклидова пространства Е n при можно представить в виде конечного числа суперпозиций простейших отображений четырех видов - переноса, подобия, ортогонального преобразования и инверсии. Доказана Ж. Лиувиллем в 1850 (см. [2] добавление 6). Эта Л. Т. Выявляет бедность класса конформных отображений в пространстве, и с этой точки зрения она весьма важна в теории аналитич. Функций многих комплексных переменных и в теории квазиконформных отображений. Лит.:[1] Gauchy А., "С. R. Acad. Sci.", 1844, t. 19, p. 1377-84. [2] M о n g e G., Application de 1'analyse a la geometrie, 5 ed., P., 1850, p. 609-16. [3] Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитических функции комплексного переменного, 2 изд., М., 1972.

[4] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964. Е. Д. Соламепцев. 3) Л. Т. О приближении алгебраических чисел - теорема, устанавливающая, что алгебраич. Иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. Именно, если a - алгебраич. Число степени а ри q>0 - любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство где С - положительная константа, зависящая только от a и выражаемая в явном виде через сопряженные с a величины. С помощью этой теоремы Ж. Лиувилль [1] впервые построил неалгебраические (трансцендентные) числа. Таким числом является, напр., число представляемое рядом с быстро убывающими членами. При n=2 Л. Т. Дает неулучшаемый результат.

Для Л. Т. Неоднократно усиливалась. В 1909 А. Туэ [2] установил, что для алгебраич. Чисел a степени и справедливо неравенство К. Зигель [3] улучшил результат А. Туэ, показав, что неравенство (*) выполняется при (s - целое) в частности при Позже Ф. Дайсон [4] доказал справедливость неравенства (*) при Наконец, К. Рот [5] установил, что неравенство (*) справедливо при любом v>2. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, т. К. Любое иррациональное число алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству Все указанные выше усиления Л. Т. Имеют один существенный недостаток - они неэффективны, а именно. Методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная в неравенстве (*) зависит от величин a и v.

Получены (см. [6], [7], [8]) эффективные усиления Л. Т., но лишь для значений показателя v, мало отличающихся от п. Лит.:[1] Liouville J., "С. R. Acad. Sci.", 1844, t. 18 p. 883-85, 910-11. [2] T h u e A., "J. Reine und angew. Math." 1909, Bd 135, S. 284-305. [3] Siegel C., "Math. Z.", 1921 Bd 10, S. 173-213. [4] Dyson F. I., "Acta math.", 1947 t. 79, p. 225-40. [5] Roth K. F., "Mathematika", 1955, v. 2 p. 1-20. [6] Baker A., "Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A", 1968, v. 263, p. 173 - 91. [7] Спринджук В. Г. "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1971, т. 35, с. 991 - 1007. [8] Фельдман Н. И., там же, с. 973-90. С. А. Степанов. 4) Л. Т. О сохранении фазового объема. Объем Vлюбой области G6N-мерного фазового пространства ( р, q).(пространства компонент импульсов и координат каждой из Nчастиц классич.

Системы с потенциальными силами взаимодействия) не изменяется с течением времени если все точки этой области двигаются согласно уравнениям классич. Механики. Утверждение является следствием того, что якобиан перехода от переменных ( р, q).(в момент времени t).к переменным ( р', q').(в момент времени t'>t) согласно уравнениям движения (напр., в форме уравнений Гамильтона) равен единице. Величина Vявляется одним из интегральных инвариантов Пуанкаре, а Л. Т.- одним из следствий их существования. Л. Т. Используется в статистич. Механике классич. Систем (см. Лиувилля уравнение). Л. Т. Доказана Ж. Лиувиллем (J.Liouville, 1851). И. А. Квасников. .