Лиувилля Уравнение

- уравнение движения для функции распределения wN(p, q. T).по импульсам и координатам N- частичной классич. Системы где H - гамильтониан системы, а фигурными скобками обозначены классич. Скобки Пуассона. Если в фазовом пространстве ( р, q).распределению wN(p, q. T).сопоставить плотность фазовых точек (каждая из к-рых соответствует определенному механич. Состоянию данной системы Nматериальных точек), то в силу того, что траектории движения этих точек не пересекаются вследствие единственности решений уравнений движения механики, и того, что фазовый объем согласно Лиувилля теореме сохраняется, ансамбль этих точек образует в фазовом пространстве своеобразную несжимаемую жидкость, полная производная плотности к-рой wN по времени равна нулю.

Это приводит к Л. У., если только выразить согласно Гамильтона уравнениям производные от координат и импульсов через соответствующие частные производные от гамильтониана. Л. У. Используется не только при рассмотрении общих вопросов статистич. Механики, связанных с выяснением микроскопической и макроскопической структур состояния системы многих тел, процессов стремления к равновесию, проблем "перемешивания" в фазовом пространстве, эргодичности и т. Д., но и в конкретных исследованиях, т. К. Л. У. Является исходным уравнением при построении Боголюбова цепочки уравнений, а следовательно, и для различного типа кинетич. Уравнений, с помощью к-рых решаются уже прикладные физич. Задачи. В случае квантовых систем роль Л.

У. Играет уравнение движения для статистич. Оператора (плотности матрица), к-рое в шрёдингеровском временном представлении имеет вид где Н - оператор Гамильтона, а фигурными скобками обозначены квантовые скобки Пуассона. Это квантовое Л. У. Является следствием структуры смешанного состояния (описываемой данным статистич. Оператором), в к-ром каждое из составляющих его чистых квантово-механич. Состояний эволюционирует согласно Шрёдингера уравнению. Лит.:[1] Голдстейн Г., Классическая механика, пер. С англ., М., 1957. [2] У л е н б е к Д., Форд Д ж., Лекции по статистической механике, пер. С англ., М., 1965. [3] Боголюбов Н. Н., Избр. Труды, т. 2, К., 1970. И. А. Квасников. .