Логарифмическая Функция

функция, обратная к показательной функции. Л. Ф. Обозначается ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. Натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно Так как при любом действительном у, то Л. Ф. определена только при x>0. В более общем смысле Л. Ф. Наз. Функцию где - произвольное основание логарифмов. Эта функция выражается через ln хпо формуле. где M=1/ln a. Л. Ф.- одна из основных элементарных функций. Ее график (см. Рис.) носит название л о г а р и ф м и к и. Основные свойства Л. Ф. Вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов. Напр., Л. Ф. Удовлетворяет функциональному уравнению Л. Ф. Y=ln хявляется строго возрастающей функцией, причем В каждой точке x>0 Л.

Ф. Имеет производные всех порядков и в достаточно малой ее окрестности раскладывается в степенной ряд, т. Е. Является аналитической функцией. Для справедливо разложение Л. Ф. В степенной ряд. Производная Л. Ф. Многие интегралы выражаются через Л. Ф. Напр. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. Ф., рассматривалась Дж. Непером (J. Napier, 1614). Л. Ф. На комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определенной при всех значениях аргумента и обозначается ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как где arg z - главное значение аргумента комплексного числа z, носит название главного значения Л. Ф. Имеем Все значения Л. Ф. Для отрицательных действительных z являются комплексными числами.

Первая удовлетворительная теория Л. Ф. В комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (L.Euler, 1749), к-рый исходил из определения Лит. [1] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций. 2 изд., т. 1, М., 1967. БСЭ-3.