Лузина - Привалова Теоремы

в теории функций комплексного переменного - классические результаты Н. Н. Лузина и И. И. Привалова, выясняющие характер граничного единственности свойства аналитич. Функций (см. [1]). 1) Пусть f(z) - мероморфная функция комплексного переменного z в односвязной области Dсо спрямляемой границей Г. Если f(z) принимает угловые граничные значения нуль на множестве положительной меры Лебега на Г, то в D. Не существует мероморфной в Dфункции, имеющей бесконечные угловые граничные значения на каком-либо множестве положительной меры. 2) Пусть w=f(z) - мероморфная в единичном круге функция, отличная от константы и имеющая радиальные граничные значения (конечные или бесконечные) на множестве Е, расположенном на дуге s единичной окружности метрически плотном и второй категории по Бэру на ст.

Тогда множество Wее радиальных граничных значений на Есодержит по крайней мере две различные точки. Метрическая плотность E на s означает, что любая порция Ена аимеет положительную меру. Отсюда следует, что если радиальные граничные значения f(z) на множестве Еуказанного типа равны нулю, то в D. Далее, не существует мероморфной функции в единичном круге, принимающей бесконечные радиальные граничные значения на множестве Еуказанного типа. Н. Н. Лузин и И. И. Привалов (см. [1], [2]) построили примеры, показывающие, что условия метрич. Плотности и 2-й категории по отдельности не являются достаточными для того, чтобы выполнялось утверждение теоремы 2. См. Также Граничные свойства аналитических функций, Лузина примеры, Предельное множество, Привалова теорема, Риссов теорема.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., Привалов И. И., "Ann. Sci. Ecolc norm, super." (3), 1925, t. 42, p. 143-91. [2] П р и в а-л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950. [3] Л о в а т е р А., в сб. Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259. Е. Д. Соломенцев. .