Максимальный Идеал

максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраич. Системы. М. И. Играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) М. И. Фактормодуль M-R/I левого (соответственно правого) Л-модуля Л по левому (соответственно правому) М. И. I является неприводимым. Гомоморфизм j кольца Л в тело эндоморфизмов модуля М- представление кольца Л. Ядро всех таких представлений, т. Е. Множество элементов кольца, переходящих в нуль при всех его представлениях, наз. Радикалом Джекоб с она кольца Л, оно совпадает с пересечением всех левых (а также всех правых) М. И. В кольце R = С [ а, b] непрерывных действительных функций на отрезке [ а, b] множество всех функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке x0, является М.

И. Такими идеалами исчерпываются все М. И. Кольца Л. Это соответствие между точками отрезка и М. И. Кольца Л привело к построению различных теорий, представляющих кольца, как кольца непрерывных функций на нек-ром топологич. Пространстве. Зариского топология, вводимая на множестве простых идеалов Spec Л кольца Л, обладает слабыми свойствами отделимости (т. Е. Существуют незамкнутые точки). Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве Spec R примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых R-модулей. Множество М. И., а в некоммутативном случае - примитивных М. И., образует подпространство к-рое удовлетворяет аксиоме отделимости Т 1. Лит.:[1]ДжекоОсон Н., Строение колец, пер. С англ., М., 1961.

В. Е. Говоров. В теории полугрупп М. И. Играют меньшую роль, нежели минимальные идеалы. Если М - максимальный двусторонний идеал (м. Д. И.) полугруппы S, то либо М=S{а}, где а - нек-рый неразложимый элемент из S(т. Е. ), либо Месть простой иде-а л (т. Е. Для любых идеалов А, Виз следует или ). Отсюда следует, что в Sвсякий м. Д. И. Будет простым тогда и только тогда, когда S2=S. В полугруппе Sс м. Д. И. Простой идеал будет максимальным тогда (и, очевидно, только тогда), когда Рсодержит пересечение I всех м. Д. И. Из S. Фактор-полугруппа Риса S/I есть 0 -прямое объединение полугрупп, каждая из к-рых либо 0-простая, либо двухэлементная нильпотентная. Иногда полугруппа Sс собственными левыми идеалами может иметь среди таких идеалов наибольший L* (т.

Е. Содержащий все другие собственные левые идеалы). Это, напр., выполняется, если Sобладает правой единицей. Если в этом случае множество SL* неодноэлементно, то оно является подполугруппой. В периодич. Полугруппе 5 из существования L * вытекает, что L* будет (наибольшим собственным) двусторонним идеалом. Другой пример такой же ситуации доставляют подгруппы с отделяющейся групповой частью (см. Обратимый элемент), не являющиеся группами. Лит.:[1] S с h w а r z S., "Чехосл. Матем. Ж.", 1953, т. 3, №2, с. 139-53. Т. 4, с. 305-83. [2] е г о же, там же, 1969, т. 19, № 1, с. 72-9. [3] G r i 1 1 е t P. A., "Amer. Math. Monthly", 1969, v. 76, № 5, p. 503-09. Л. Н. Шеврин.