Полилинейное Отображение

N-линейное отображение, полилинейный оператор,- отображение f прямого произведения унитарных модулей Ei над ассоциативно-коммутативным кольцом Ас единицей в нек-рый A-модуль F, линейное по каждому аргументу, т. Е. Удовлетворяющее условию В случае п=2( п = 3).говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. О. определяет единственное линейное отображение тензорного произведения в Fтакое, что причем соответствие есть биекция множества П. О. на множество всех линейных отображений П. О. естественным образом образуют A-модуль. В А-модуле Ln(E, F).всех n-линейных отображений действует симметрич. Группа Sn. где . П. О. F наз. Симметрическим, если sf=f для всех , и кососимметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)=+1 в зависимости от четности подстановки в.

П. О. Наз. Знакопеременным (или альтернированным), если f(x1, . ., х п)=0, как только xi=xj для нек-рых . Всякое знакопеременное П. О. Кососимметрично, а если в Fравнение 2у=0 имеет единственное решение у=0, то верно и обратное. Симметрические П. О. Образуют подмодуль в Ln(E, F), естественно изоморфный модулю линейных отображений L(SnE, F), где SnE есть n-я симметрич. Степень Е(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. О.- подмодуль, естественно изоморфный L(LnE, F), где Ln Е есть га-я внешняя степень модуля Е(см. Внешняя алгебра). П. О. Вида наз. Симметризованными, а П. О. Вида snf= - кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) П. О. Симметричны (соответственно знакопеременны), а если в Fуравнение n!y=c имеет для каждого единственное решение, то верно и обратное.

Для того чтобы всякое знакопеременное П. О. Было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль Ебыл свободным. Лит. См. При ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.