Свободное Множество

в векторном пространстве Х над полем K - то же, что линейно независимая система векторов из X, т. Е. Множество элементов , такое, что соотношение , где для всех кроме конечного числа индексов t,влечет для всех t. Несвободное множество наз. Также з а в и с и м ы м. С в о б о д н о е м н о ж е с т в о в топологическом векторном пространстве X над полем К(топологически свободное множество) - множество такое, что для любого замкнутое подпространство, порожденное точками , не содержит а s. Топологически С. М. Является С. М. Векторного пространства. Обратное неверно. Напр., в нормированном пространстве Снепрерывных функций на [0, 1] функции , образуют топологически С. М. В отличие от функций (поскольку хсодержится в замкнутом подпространстве, порожденном ).

Совокупность всех (топологически) С. М. В X, вообще говоря, не индуктивна относительно включения. Кроме того, она не обязательно содержит максимальное топологически С. М. Напр., пусть X - пространство над , образованное непрерывными функциями и наделенное отделимой топологией. Соответствующая фундаментальная система окрестностей нуля в Xсостоит из уравновешенных поглощающих множеств всюду вне (зависящего от f) открытого множества меры . Тогда каждый непрерывный линейный функционал равен нулю и в Xне существует максимального С. М. Для того чтобы Абыло (топологически) С. М. В ослабленной топологии s( Х, X* )в X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого t существовал элемент такой, что для всех Для локально выпуклого пространства С.

М. В ослабленной топологии является С. М. И в исходной топологии. М. И. Войцеховский..