Сохоцкого Формулы

- формулы, найденные впервые Ю. В. Сохоцким [1] и выражающие граничные значения интеграла типа Коши. С более полными доказательствами, но значительно позже С. Ф. Были получены независимо Й. Племелем [2]. Пусть Г . T=t(s), t(0)=t(l), - замкнутая гладкая жордаиова кривая на плоскости комплексного неременного - заданная на Г комплексная плотность интеграла типа Коши, относительно к-рой предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера D+ - область внутри Г , D -- внешняя область. - интеграл типа Коши. Тогда для любой точки существуют пределы к-рые выражаются формулами Сохоцкого или, иначе, Интеграл вдоль Г в правых частях С. Ф. Понимается в смысле главного значения по Коши и наз. Сингулярным интегралом.

Таким образом, принимая при высказанных условиях Ф+(t)(или Ф -(t)) в качестве значений интеграла Ф(z) на Г , получают функцию Ф(z), непрерывную в замкнутой области (соответственно в в целом Ф(z) иногда описывают как кусочно аналитич. Цию. Если то Ф +(t)и Ф -(t) также непрерывны по Гёльдеру на Г с тем же показателем а если то с любым показателем Для угловых точек t0 (см. Рис.) кусочно гладкой кривой Г С. Ф. Принимают вид В случае разомкнутой кусочно гладкой кривой Г С. Ф. (2) и (3) остаются в силе для внутренних точек дуги Г. С. Ф. Играют основную роль при решении граничных задач теории функций и сингулярных интегральных уравнений (см. [3], [5]), а также при решении различных прикладных задач теории функций (см.

[4]). Естественно возникает вопрос о возможном расширении условий на контур Г и плотность с тем, чтобы С. Ф., хотя бы с нек-рыми оговорками, сохраняли силу. Наиболее значительные результаты в этом направлении принадлежат В. В. Голубеву и И. И. Привалову (см. [6], [8]). Напр., пусть Г - спрямляемая жорданова кривая, а плотность по-прежнему непрерывна по Гёльдеру на Г. Тогда С. Ф. (2) имеют место почти всюду на Г, причем под Ф +(t0) и Ф -(t0) понимаются угловые граничные значения интеграла типа Коши соответственно изнутри и извне Г, но функции Ф +(z) и Ф - (z), вообще говоря, уже не непрерывны в замкнутых областях О пространственных аналогах С. Ф. См. В [7]. Лит.:[1] Сохоцкий Ю. В., Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды, СПБ, 1873.

[2] Р1еmе1j J., лMonatsh. Math, und Phys..