Стинрода Квадрат

- стационарная (стабильная) когомологическая операция Sqi, типа повышающая размерность на i. Это означает, что для каждого натурального пи каждой пары топологич. Пространств (X, Y) задан такой гомоморфизм что где - кограничный гомоморфизм (стационарность) и f*Sqi - Sqif* для любого непрерывного отображения (естественность). С. К. Sqi обладает следующими свойствами. 1) Sq0=--id. 2) где - гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный с короткой точной последовательностью групп коэффициентов 3) если i= dimx, то Sqix=x2. 4) если i>dimx, то Sqix=0. 5) (формула Картана) 6) (соотношения Адема) при а<2bSqa где - биномиальные коэффициенты mod 2. В формуле Картана умножение можно считать как внешним ( -умножением), так и внутренним -умножением).

Она равносильна утверждению, что отображение определенное формулой является гоморфизмом колец. Из условия стационарности вытекает, что С. К. Sqi перестановочны с надстройкой и трансгрессией. Операции Sqi однозначно характеризуются свойствами 1), 3), 4), к-рые поэтому можно принять за определяющие их аксиомы. Конструктивное определение операций Sqi основывается на симплициальной структуре в группах цепей C*(X)и на существовании диагонального отображения Пусть W - минимальный ациклический свободный цепной -комплекс, т. Е. Цепной комплекс, для к-рого где Т - образующая группы Методом ацикличных носителей или явным построением (см. [4]) доказывается существование такого эквивариантного цепного отображения что для любого симплекса (символом здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного комплекса содержащий элемент Пусть Любым двум коцепям ставится в соответствие формулой для любого симплекса коцепь наз.

Их -произведением. Для кограницы этой коцепи имеет место формула из к-рой следует, что формула корректно определяет нек-рый гомоморфизм к-рый не зависит от выбора отображения Аналогичным образом операции Sqi строятся и в других симплициальных структурах с диагональным отображением, напр. В когомологиях симплициальных абелевых групп, симплициальных алгебр Ли и т. П. Однако при этом сохраняются не все свойства С. К. Sqi (напр., вообще говоря, и единой общей теории обобщенных операций Sqi до сих пор (1984) нет (см. [5], [6]). Через С. К. И их аналоги при р>2 (см. Стинрода приведенная степень )выражаются многие когомологич. Операции, действующие в группах когомологий с коэффициентами в группах и , Это определяет основополагающую роль, к-рую С.

К. Играют в алгебраич. Топологии и ее приложениях. Напр., группы бордизмов вычисляются с помощью С. К. С. К. Введен Н. Стинродом [4]. Лит.:[1] Стинрод Н., Эпстейн Д., Когомологические операции, пер. С англ., М., 1983. [2] Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969. [3] Мошер Р. Э., Тангора М. К., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. С англ., М., 1970. [4] Stееnrоd N. Е., лAnn. Math..